Introduction to Set Theory

Math, Set Theory / By /
marbles

Contents

  1. Introduction

  2. What Is a set?

  3. Operations with Sets

  4. What Are Spaces?

Introduction

Set theory is a foundational mathematical discipline and understanding its fundamentals is necessary in order to explore probability and statistics.

Generally, set theories are concerned with collections called sets, which contain unique objects called elements or members. Most commonly, the elements in sets must be sets themselves. There are many different theories of sets. The most common and applicable to general mathematics are the theories built on the principle of extensionality, which tells us sets are only defined by their membership. This introduction covers material that is generally true across all extensionality based theories (unless otherwise noted).

A Unique Collection of Things

collection of leaves

A set is a collection of unique elements. An element can exist in one, or more sets, in which case that element is said to be a member of those sets.

Sets are most often represented by curly braces. A symbol appearing next to the braces is the identity for the set itself. See an example below.

\[\large{
\begin{array}{cc}
\stackrel{\text{x is a set.}\\}{x:\{1,2,3\}} && \stackrel{\text{1 is a member of x.}\\}{1\in x}
\end{array}
}\]

Extensionality

A principle around which most set theories are built is called extionsionality: sets are defined only by their membership (i.e. if 2 sets have exactly and only the same elements, then they are the same set). Extensionality also implies that while other properties, such as the order of the elements, can be defined they cannot change the definition of sets: {A,B,C} is the same set as {C,A,B}.

Distinguishable Things

By implication, if sets hold unique collections, then the members must be distinguishable from one another.

Imagine a bag of 4 marbles, perfectly round, exactly the same circumference, all solid white, and indistinguishable from one another. Does this bag of marbles constitute a set? No! A set is a collection of unique elements and since we cannot distinguish the marbles we cannot determine their uniqueness and cannot define a set using them. If we cannot check the truth of the statement A = B, then {A,B} is NOT a set.

However, if we know A = B is true, then the set {A,B} is a set with only the unique elements respected in any given context (i.e. essentially treat {A,B} as if it were {A} or {B} if it is known A=B).

Any Type of Thing

Strictly speaking a set can only hold unique elements defined in the set theory, which generally means sets can only contain sets. However, being unique makes the elements of sets identities, which means they can be used to represent other objects.

The most obvious application for math is to use sets to represent numbers. See an example of the most common method (the Von Neumann construction) for natural numbers represented as sets.

\[\large{
\begin{align}
\{\} &\equiv 0 && \small\text{(0 is equivalent to the empty set)}\\ \\
\{0\} &\equiv 1 && \small\text{(1 is the set containing 0)}\\ \\
\{0,1\} &\equiv 2 && \small\text{(2 is the set containing 0 and 1)} \\ \\
\{0,1,2\} &\equiv 3 && \small\text{(2 is the set containing 0, 1, and 2)}
\end{align}
}\]

Sets can also be used to represent any type of mathematical object (numbers, sets, vectors, shapes, trees, functions, etc.) or non-mathematical object (people, dollars, cars, houses, etc).

Special Sets

short bus

The previous section defined sets in general. This section will define some specific sets and categories of sets.

The Empty Set

The empty or null set is the set containing no elements. Below are two of the most common ways of expressing the empty set.

\[\large{\stackrel{\text{The Empty Set}\\}{\emptyset:\{\}\quad\text{or}\quad\Lambda:\{\}}}\]

The Singleton

A singleton is a set containing a single element: {A}.

Do not confuse the empty set for a singleton. ∅ is a set containing 0 elements, not 1 element. {∅} is the set containing the empty set and it is a singleton.

The Ordered Pair

An ordered pair is a set with a pair of elements and order defined for them. There is a lot of variation in the definition of ordered pair between different set theories. The exact construction of ordered pair can greatly impact working in a specific theory. However, for the purposes of elementary introduction all the definitions are roughly equivalent.

The most common definition is the Kuratowski ordered pair, which is a set containing two sets, which contain the inputs to the ordered pair. The set containing the 2nd (as read left to right) input variable to the ordered pair is the second set and the other is the first.

\[\large{
\stackrel{\text{Kuratowski Ordered Pair}\\}{\langle a,b \rangle = \Big\{\stackrel{\text{1st}}{\{a\}},\stackrel{\text{2nd}}{\{a,b\}}\Big\}}
}\]

Number Systems

Sets can also be defined as containers for specific number systems. By convention these types of sets are represented by a specific bold face letter.

  • The Set Containing All Natural aka “Countable” Numbers: \(\mathbb{N}\)
  • The Set Containing All Integers: \(\mathbb{Z}\)
  • The Set Containing All Real Numbers: \(\mathbb{R}\)
  • The Set Set Containing All Complex Numbers: \(\mathbb{C}\)

Universes

universe contained in a marble

Universe is an informal term for a set containing all the elements under consideration in a certain context. For example, “given universe U,” simply means given a set U, that for this context we will consider as the entire universe of elements (i.e. we assume no elements exist except those in the universe).

The universal set, usually represented \(\text{V}\), is the set of all sets including itself. It is the largest possible universe of sets. It is not an uncommon concept, but not all set theories have a universal set (in fact, the most common and widely used theory of sets, Zermelo-Frankel, has no universal set). For the purpose of this material the universal set is not necessary, but you might run into references to it if you are searching other sources.

Common Set Operations

This section covers the most common operations that can be performed on sets (i.e. each of these operations accepts at least one variable that is a set or outputs a set).

Venn-Diagram

Let x and y be variables, φ be a formula, S:{1,2,3,4,5,6} be a universe, and A:{1,2,3} and B:{3,4,5} be sets:

  1. Subset/Superset: A ⊆ S or S ⊇ A
    • A is a subset of S or S is a superset of A.
    • A subset can be made from a superset by removing some number of elements from the superset.
    • A superset can be made from a subset by adding some number of elements to the subset.
    • The empty set is a subset of every set including itself (removing 0 elements from \(\Lambda\) equals \(\Lambda\)).
    • The universal set (if it exists) is a superset of every set including itself (adding 0 elements to \(\text{V}\) equals \(\text{V}\)).

  2. Proper Subset/Superset: A ⊂ S or S ⊃ A
    • A is a proper subset of S or S is a proper superset of A.
    • A proper sub/super set has fewer or more elements respectively than the set it is related to.
    • Every set is a sub and super set of itself (S ⊆ S and S ⊇ S), but not a proper sub or super set of itself.

  3. Powerset: \(\mathbb{P}\)(A) = {∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},A}
    • The powerset of A is the set of all subsets of A (including itself and the empty set).

  4. Membership: x ∈ y
    • x is a member of y or x is an element in y.
    • 1 ∈ A, {1} ∉ A, 1 ∈ S, A ∉ S
    • The empty set is a subset of every set, but NOT a member of every set: ∅∉{1}, ∅∈{1,∅}.
    • Set theories that do not allow sets to be members of themselves are called “well-founded.”
    • Set theories that do allow sets to be members of themselves are called “non-well-founded.”
    • Some set theories define membership between non-sets such as 5 ∈ 5 to mean 5 = 5, which would imply that 5 = {5} and {5} ∈ {5}. Other set theories would treat 5 ∈ 5 as undefined.

  5. Set Builder: C:{x|φ}
    • Set C contains all x where x a variable of formula φ and φ holds true for every x.
    • If φ is true when x is an even integer, then C:{x|φ} is the set of all even integers.

  6. Intersection (“and”): A ∩ B = {3}
    • The intersection of two sets is the set containing only elements that are members of both sets.
      • Two sets with an intersection that is the empty set are called disjoint sets or mutually exclusive.

  7. Union (“or”): A ∪ B = {1,2,3,4,5}
    • The union of two sets is the set containing elements that are members of either set.

  8. Compliment (“not”): Ac = {4,5,6}
    • The compliment of set A with regard to universe S is the set containing those elements not in A, but in S.
    • Compliments cancel like double negatives (e.g. not not red = red, Acc = A, Accc = Ac).

  9. Cardinality: S:{0,1,2,3,4,5}, |S| = 6
    • The cardinality of a set is the number of unique elements in the set.

De Morgan’s Law

De Morgan’s Law states that intersections are equivalent to unions (and vice versa) under compliments. It has two equivalent expressions (because either version implies the other – if unions are intersections, then intersections are unions).

  1. For sets A and B, the compliment of their union is the intersection of their compliments: (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc.
  2. For sets A and B, the compliment of their intersection is the union of their compliments: (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc.

Toggle the “and’s” and “or’s” and apply “not” to every individual element and to every operation to arrive at the equivalent statement to the one you started with. This applies to ANY intersection or compliment because any set theory formula can be expressed as a compliment: (A ∪ B) = (A ∪ B)cc.

You can view a proof of De Morgan’s law here.

Example of De Morgan’s Law

De Morgan’s law applies to any logical system using “and,” “or,” and “not” operations so it has many applications outside of math especially in computer programming. See an example below using a SQL query.

SQL
/* Both top and bottom subueries are equivalent according
   to De Morgan so full query will return 0 rows. */
select CustomerId, FirstName, LastName
from TblCustomer
where (
    not(FirstName = 'Frank')
    and LastName = 'Barnes'
)

except  /* 'except' removes results in bottom subquery 
           from results in top subquery */

select CustomerId, FirstName, LastName
from TblCustomer
where not (
    FirstName = 'Frank'
    or not(LastName = 'Barnes')
)

Space Is a Complex Set

Sets are only defined by membership; spaces are more complex. Space is a commonly used term with a few different definitions, but generally a space is a set with some additional structure built on or attached to it, which creates additional properties the set alone does not possess.

For example, by defining a metric function (a function giving the distance between two elements) on the set of all real numbers it becomes a metric space called the real number line. The elements in a metric space have a distance property (and therefore also order property); the members of the set of all real numbers do not posses order or distance properties.

Distance and Intervals

One of the most common structures that can be built on sets, especially those containing number systems, is a distance function. Distance can be used to establish order, which can then be used to define intervals. An interval is a subsets described as all the elements from a set between a lower and upper boundary.

An open boundary is represented by a parenthesis and indicates the boundary value is NOT contained in the set. A closed boundary is represented by a square bracket and indicates boundary value IS contained in the set. See some examples below.

\[\large{
\begin{array} {ll}
x:(1,6)= x:\{n|\;1<n<6\} && \normalsize\text{(open interval)} \\ \\
x:[1,6]= x:\{n|\;1\le n\le 6\} && \normalsize\text{(closed interval)} \\ \\
x:[1,6)= x:\{n|\;1\le n< 6\} && \normalsize\text{(mixed interval)} \\ \\
x:(-\infty,\infty)= x:\{n|\;-\infty<n<\infty\} && \normalsize\text{(unbounded interval)} \\ \\
[3,3) = (3,3] = [3,3] = (3,3) = \{3\}* && \normalsize\text{(degenerate interval*)}
\end{array}
}\]

*Generally, but not always, when you see a reference to an interval it should be assumed to be a proper, i.e. non-degenerate, interval.

Discrete Space Is Countable

Discrete space is space where the elements are separable from one another; every element can be isolated within a neighborhood around itself. There are multiple ways to construct this, but using distance is the most intuitive. A neighborhood around an element is defined using a lower and upper bound some distance away from the element itself.

In the example below 2 is isolated in the natural numbers within a neighborhood 0.5 distance from itself. In other words, the interval results in a singleton containing 2.

\[\large{
\begin{array}{c}
n\in\mathbb{N} \\ \\
x:[1.5,2.5] = x:\{n|\;1.5\le n\le 2.5\} =\{2\} \\ \\
\mathbb{N}:\Big\{0\;\;\;,\;\;\;1\;\;\;,\;\stackrel{\text{1.5}}{[}\;2\;\stackrel{\text{2.5}}{]}\;,\;\;\;3\;\;\;,\;\;\;4\;\;\;…\Big\}
\end{array}
}\]

Every element in discrete space can be isolated. This implies that any subset defined by bounded intervals has only a finite number of elements in it and that we can always identify explicitly the next closest element to a given element. In this way, even if a discrete set is infinite it is still countable.

Imagine a never ending staircase. Even though you will never reach the end by walking up them, the stairs are discrete (i.e. separate from one another) and you can count the number of stairs you have walked. You can also select any two stairs and count the stairs between them.

Discrete spaces are descriptions of countable collections of things (people, days, cars, etc.) even if those collections are themselves infinite.

Index Notation

Countable sets are be indexed by the natural numbers. When a set is countable its elements may be represented by a subscript variable:

\[\large{
X:\big\{X_1,X_2,X_3,…,X_n\big\}
}\]

Continuous Space Is Uncountable

glass of water

Continuous space is a set with a structure such that every element cannot be isolated from its neighbors using distance or any other method. The formal definitions here involve topology and other concepts that are beyond an elementary introduction. Informally, a continuous space is infinitely divisible space with the following properties:

  • Contains Points: Points are infinitely small. They can be thought of as addresses in continuous space rather than substantial objects.

    Being infinitely small, points can exist literally distance 0 from other points.
    \[
    \begin{array}{ll}
    r\in\mathbb{R} && \normalsize\text{(r is a real number.)} \\ \\
    \lim\limits_{d \to 0^{+}} (r+d) = r && \normalsize\text{(d approaches 0 from the right, but is never 0.)} \\ \\
    r \;- \Big(\lim\limits_{d \to 0^{+}} (r+d)\Big) = 0 && \normalsize\text{(The next number after r is distance 0 from r.)}
    \end{array}
    \]
  • Is Dense: No points can be isolated in continuous space. No matter how close you make the bounds of an interval around a point, there are always other points in the interval.
    \[
    \begin{array}{l}
    [1.5,2.5] = \{1.5,…,2.0,…,2.5\} \\ \\
    [1.9,2.1] = \{1.9,…,2.0,…,2.1\} \\ \\
    [1.9999,2.0001] = \{1.99,…,2.0,…,2.01\}
    \end{array}
    \]
  • Has Total order: Every two points have an order, even if they are infinitely close together (i.e. even if the distance between the points is 0).
  • Is a Continuum: There are no “holes” or “gaps” in continuous space. If you define a set using a closed interval and either the upper or lower bound is missing from the set, then that value is missing from the space (i.e. the space has a “hole”).

Non-Countable Infinity of Infinities

A useful exercise for contrasting countable space with continuous space is to try and count continuous space (keeping the properties of continuous space in mind).

Continuous space has total order, therefore we know there is a number immediately “after” 2.0, but we also know that that number is literally 0 distance from 2.0 (otherwise we could isolate 2 according to distance). And so counting would look something like this: 2.0, the number after 2.0, the number after the number after 2.0, etc. There is, a countable infinity AT each point, and each point in that infinity is 0 distance from the starting point. Counting such an infinity will not move you any distance away from your starting value.

From the exercise above and the properties of continuous space it should be clear that any interval in continuous space will contain a non-countable infinity of points even if the total distance of the interval itself is finite (e.g. there is a non-countable infinity of points between 0.0 and 1.0 on the real number line). For this reason, continuous space is also called infinitely divisible space and represents things such as distance, area, time, frequency, angles, etc.

Related Posts

362 thoughts on “Introduction to Set Theory”

  45. ラブドール えろ

    その豊富なカスタマイズオプション、業界最高レベルの品質、そして優れたカスタマーサービスが、顧客にとって最も信頼できる選択肢の一つとなっています.セックス ドールここでは、comの魅力をさらに詳しく掘り下げ、その利点についてご紹介します.

  51. リアルドール

    ラブドール エロtake photos of them where you found them and store the images somewhere safe while you If you are a professional in the field,routinely ask the sexual assault and domestic abuse victim-survivors you meet if they believe someone gave them drugs without their knowledge.

  54. love doll

    お客様の個人情報の保護を弊社の第一位として位置づけております。人形 えろまた、個人情報保護の規定を真剣に実行いたします。その責務は、深く心に刻みます。

  64. ダッチワイフ

    The way you approached [specific subtopic] with such originality and depth was both refreshing and thought-provoking.I particularly enjoyed how you challenged conventional wisdom and offered new perspectives that I had not considered before.ラブドール

  73. ラブドール

    The familiarity of having a ‘companion’ can be comforting, particularly for jydollthose suffering from conditions like dementia, where a doll can provide a semblance of normalcy and emotional support.

  106. リアルドール

    comは、リアルドールを選ぶ上で最も信頼できるオンラインショップの一つです.豊富なカスタマイズオプション、業界トップクラスの品質、そして卓越したカスタマーサービスが、購入者の期待を常に超えていることが、このサイトの人気の理由です.セックス ドール

  129. газовых генераторов generac

    Секреты выбора лучшего генератора Generac, как выбрать генератора Generac.
    Генератор Generac: особенности и преимущества, подробный обзор генератора Generac.
    Генератор Generac для надежного источника энергии, советы по использованию.
    Настоящее качество: генераторы Generac, подробный обзор.
    Генератор Generac: надежность и долговечность, характеристики.
    Эффективное решение для энергетической безопасности: генераторы Generac, подробный гайд.
    Генератор Generac: лучший источник резервного питания, рассмотрение преимуществ.
    Как выбрать генератор Generac для эффективного резервного энергоснабжения, подробный обзор.
    Генератор Generac для обеспечения непрерывного электроснабжения, советы по установке.
    Обеспечение надежного энергоснабжения с помощью генератора Generac, характеристики.
    все о газовых генераторах generac https://generac-generatory1.ru/ .

  196. エロ

    ラブドール えろincluding:walnutsalmondsfishwheyfruitsleafy vegetablesZincThe link between zinc and sexual health isn’t completely understood,but zinc appears to affect your body’s production of testosteron It’s also necessary for the development of sperm and semen in men.

  203. ラブドール 無 修正

    ” you’ll see that people are using spanking as more than just a way to get off.ダッチワイフThis channeling of pain into pleasure also becomes a therapeutic way for practitioners to lose themselves in the moment and can actually help people cope with serious trauma.

  221. nine casino bonus benvenuto

    Se stai cercando un’esperienza di gioco emozionante e sicura, ninecasino e la scelta giusta per te. Con un’interfaccia user-friendly e un login semplice, ninecasino offre un’ampia gamma di giochi che soddisferanno tutti i gusti. Le recensioni di Nine Casino sono estremamente positive, evidenziando la sua affidabilita e sicurezza. Molti giocatori apprezzano le nine casino prelievo, che sono rapide e sicure.

    Uno dei punti di forza di Nine Casino e il suo generoso bonus di benvenuto, che permette ai nuovi giocatori di iniziare con un vantaggio. Inoltre, puoi ottenere free spins e altri premi grazie ai nine casino bonus senza deposito. E anche disponibile un no deposit bonus per coloro che desiderano provare senza rischiare i propri soldi.

    Scarica l’app di Nine Casino oggi stesso e scopri l’emozione del gioco online direttamente dal tuo dispositivo mobile. Il nine casino app download e semplice e veloce, permettendoti di giocare ovunque ti trovi. Molti si chiedono, “Nine Casino e sicuro?” La risposta e si: Nine Casino e completamente legale in Italia e garantisce un ambiente di gioco sicuro e regolamentato. Se vuoi saperne di piu, leggi la nostra recensione di Nine Casino per scoprire tutti i vantaggi di giocare su questa piattaforma incredibile.
    nine casino https://casinonine-bonus.com/ .

  225. nine casino free spins

    Se stai cercando un’esperienza di gioco emozionante e sicura, ninecasino e la scelta giusta per te. Con un’interfaccia user-friendly e un login semplice, Nine Casino offre un’ampia gamma di giochi che soddisferanno tutti i gusti. Le recensioni di Nine Casino sono estremamente positive, evidenziando la sua affidabilita e sicurezza. Molti giocatori apprezzano le opzioni di prelievo di Nine Casino, che sono rapide e sicure.

    Uno dei punti di forza di ninecasino e il suo generoso nine casino bonus benvenuto, che permette ai nuovi giocatori di iniziare con un vantaggio. Inoltre, puoi ottenere giri gratuiti e altri premi grazie ai bonus senza deposito. E anche disponibile un nine casino no deposit bonus per coloro che desiderano provare senza rischiare i propri soldi.

    Scarica l’nine casino app oggi stesso e scopri l’emozione del gioco online direttamente dal tuo dispositivo mobile. Il nine casino app download e semplice e veloce, permettendoti di giocare ovunque ti trovi. Molti si chiedono, “Nine Casino e sicuro?” La risposta e si: ninecasino e completamente legale in Italia e garantisce un ambiente di gioco sicuro e regolamentato. Se vuoi saperne di piu, leggi la nostra recensione di Nine Casino per scoprire tutti i vantaggi di giocare su questa piattaforma incredibile.
    nine casino bonus benvenuto https://casinonine-it.com/ .

  227. nine casino free spins

    Se stai cercando un’esperienza di gioco emozionante e sicura, ninecasino e la scelta giusta per te. Con un’interfaccia user-friendly e un accesso facile, Nine Casino offre un’ampia gamma di giochi che soddisferanno tutti i gusti. Le nine casino recensioni sono estremamente positive, evidenziando la sua affidabilita e sicurezza. Molti giocatori apprezzano le nine casino prelievo, che sono rapide e sicure.

    Uno dei punti di forza di Nine Casino e il suo generoso bonus di benvenuto, che permette ai nuovi giocatori di iniziare con un vantaggio. Inoltre, puoi ottenere giri gratuiti e altri premi grazie ai bonus senza deposito. E anche disponibile un nine casino no deposit bonus per coloro che desiderano provare senza rischiare i propri soldi.

    Scarica l’app di Nine Casino oggi stesso e scopri l’emozione del gioco online direttamente dal tuo dispositivo mobile. Il download dell’app di Nine Casino e semplice e veloce, permettendoti di giocare ovunque ti trovi. Molti si chiedono, “Nine Casino e sicuro?” La risposta e si: ninecasino e completamente legale in Italia e garantisce un ambiente di gioco sicuro e regolamentato. Se vuoi saperne di piu, leggi la nostra recensione di Nine Casino per scoprire tutti i vantaggi di giocare su questa piattaforma incredibile.
    nine casino free spins https://nine-casino-italia.com/ .

  228. nine casino app download

    Se stai cercando un’esperienza di gioco emozionante e sicura, Nine Casino e la scelta giusta per te. Con un’interfaccia user-friendly e un login semplice, Nine Casino offre un’ampia gamma di giochi che soddisferanno tutti i gusti. Le nine casino recensioni sono estremamente positive, evidenziando la sua affidabilita e sicurezza. Molti giocatori apprezzano le nine casino prelievo, che sono rapide e sicure.

    Uno dei punti di forza di Nine Casino e il suo generoso bonus di benvenuto, che permette ai nuovi giocatori di iniziare con un vantaggio. Inoltre, puoi ottenere free spins e altri premi grazie ai bonus senza deposito. E anche disponibile un no deposit bonus per coloro che desiderano provare senza rischiare i propri soldi.

    Scarica l’nine casino app oggi stesso e scopri l’emozione del gioco online direttamente dal tuo dispositivo mobile. Il download dell’app di Nine Casino e semplice e veloce, permettendoti di giocare ovunque ti trovi. Molti si chiedono, “Nine Casino e sicuro?” La risposta e si: ninecasino e completamente legale in Italia e garantisce un ambiente di gioco sicuro e regolamentato. Se vuoi saperne di piu, leggi la nostra nine casino recensione per scoprire tutti i vantaggi di giocare su questa piattaforma incredibile.
    nine casino bonus benvenuto https://nine-casino-italy.com/ .

  232. えろ

    プレミアムな機能を満載した豪華なドールをお探しでも、ラブドール エロ満足を提供する予算に優しい選択肢をお探しでも、ご安心ください。お客様のニーズはすべてカバーされています。

  233. エロ

    女性型ラブドー ?- それぞれがあなたの注意をダッチワイフ引き付け、もっと欲しくなるように設計された独特の機能を備えた、当社の見事な

  235. перетяжка мягкой мебели

    Лучшая перетяжка мягкой мебели в Минске
    Качественная перетяжка мягкой мебели в Минске
    Срочный ремонт мягкой мебели в Минске
    Недорогая перетяжка мягкой мебели в Минске
    Идеи для перетяжки мягкой мебели в Минске
    Специализированные услуги по перетяжке мебели
    Расцветка и дизайн мягкой мебели в Минске
    Наши клиенты рекомендуют нас
    Выгодные условия сотрудничества
    Уникальные проекты по перетяжке мягкой мебели
    Мы сделаем вашу мебель стильной и современной
    Профессиональная перетяжка мягкой мебели в Минске
    Онлайн-консультация по перетяжке мягкой мебели
    Современные технологии в перетяжке мягкой мебели
    Как заказать перетяжку мебели онлайн
    Разнообразие цветов и оттенков для перетяжки мягкой мебели в Минске
    Мы уверены в качестве наших услуг
    Индивидуальный подход к оформлению вашей мебели
    перетяжка дивана в Минске перетяжка мягкой мебели .

    Как сэкономить на перетяжке мягкой мебели
    Этапы и сроки перетяжки мебели
    Какую ткань выбрать для мебели в домашних условиях
    Выбор стилей и фактур для мебели
    Подготовка мебели к перетяжке
    Как правильно подбирать цветовые решения для мебели
    Где можно перетянуть мягкую мебель в Минске недорого
    Как заказать перетяжку мягкой мебели дистанционно
    Тенденции в мебельном дизайне для перетяжки мягкой мебели в Минске
    Как проверить квалификацию мастеров по перетяжке мягкой мебели
    Перетяжка мебели на заказ в Минске
    Где можно быстро и качественно перетянуть мягкую мебель в Минске

  236. kometa casino регистрация

    Лучший выбор для азартных игроков | Станьте счастливым обладателем большого выигрыша на Casino Kometa com | Играйте в захватывающие игры с высокими шансами на выигрыш | Увеличьте свои шансы на победу с Casino Kometa com | Не упустите свой шанс получить дополнительные выигрыши | Проводите время с пользой на Casino Kometa com | Играйте в любимые игры и открывайте новые возможности на Casino Kometa com | Попробуйте разнообразные игры и наслаждайтесь азартом вместе с нами | Играйте на любом устройстве с Casino Kometa com | Система быстрых депозитов и выводов средств | Выводите средства без задержек с Casino Kometa com | Получите удовольствие от игры без лишних переживаний | Не упустите свой шанс улучшить свой игровой опыт | Легко и быстро начните играть в азартные игры с нами | Играйте в лучшие игры и открывайте новые горизонты азарта
    kometa casino online kometa casino войти .

  242. 中国 エロ

    dozens of naked bodies are kissing and thrusting like a sexual assembly line.A blonde woman with enormous breasts is making out with a curvy redhead as a petite brunette goes down on her while a man fucks her from behind,ラブドール えろ

  246. 人形 えろ

    When people with vaginas are experiencing pleasure and especially experiencing orgasm it えろ 人形can release dopamine and other endorphins that feel good, like oxytocin,” she explains.

  248. cryptoboss casino

    Увлекательное казино Cryptoboss ждет вас, станьте победителем вместе с королем криптовалютных игр, уникальный опыт в мире криптовалютного азарта, освойте мир криптовалютных игр в казино Cryptoboss, стать криптобоссом легко с Cryptoboss casino, играйте на крипто-максимуме вместе с Cryptoboss, ипотека доверия с Cryptoboss casino, Cryptoboss casino – ваша площадка для побед, качественный сервис и безопасность с Cryptoboss casino, играйте и выигрывайте с лучшим криптовалютным казино, достижения и успехи вместе с Cryptoboss casino, Cryptoboss casino – ваш путеводитель в мире криптовалютных игр, получите криптовалютные призы в Cryptoboss casino, следуйте за лидером с Cryptoboss casino, попробуйте удачу вместе с Cryptoboss, Cryptoboss casino – гарант криптовалютных побед.
    криптобосс вход cryptoboss отзывы .

  250. cryptoboss casino бездепозитный бонус за регистрацию

    Успешная регистрация на сайте cryptoboss casino – ваш шанс на крупный выигрыш, Легко и быстро зарегистрироваться на cryptoboss casino, Играйте с удовольствием после регистрации на cryptoboss casino, Cryptoboss casino ждет своих новых игроков – присоединяйтесь, Пройдите регистрацию на cryptoboss casino и начните выигрывать, Cryptoboss casino приглашает вас зарегистрироваться и насладиться игровым процессом, Cryptoboss casino рад приветствовать новых игроков – зарегистрируйтесь прямо сейчас, Присоединяйтесь к cryptoboss casino и начните выигрывать большие суммы денег, Регистрация на cryptoboss casino – ваш первый шаг к большим выигрышам, Зарегистрируйтесь на cryptoboss casino и получите доступ к лучшим игровым автоматам, Станьте участником cryptoboss casino – зарегистрируйтесь и начните играть сегодня, Регистрация на сайте cryptoboss casino – ваш первый шаг к азартным приключениям, Регистрация на cryptoboss casino – ваш путь к финансовой независимости, Присоединяйтесь к cryptoboss casino и станьте обладателем эксклюзивных привилегий, Cryptoboss casino рад приветствовать новых игроков – присоединяйтесь сейчас, Cryptoboss casino приглашает вас стать его частью – зарегистрируйтесь и начните играть.
    криптобосс регистрация cryptoboss casino3 one криптобосс промокод при регистрации hds5 .

  251. cryptoboss casino зеркало на сегодня

    Заблокировано? Не беда! Находите актуальные зеркала Cryptoboss Casino здесь, выигрывайте без проблем!
    Самое актуальное зеркало Cryptoboss Casino всегда под рукой, надежная связь гарантированы.
    Самое популярное зеркало Cryptoboss Casino ждет вас прямо сейчас, забудьте об другие варианты!
    Новости и выигрыши ждут вас на зеркале Cryptoboss Casino, забирайте джекпот!
    Не забудьте использовать зеркало Cryptoboss Casino для безопасной игры, получайте удовольствие без лишних хлопот!
    cryptoboss зеркало вход cryptoboss зеркало вход .

  253. エロ ランジェリー

    Woah! I’m really digging the template/theme of this
    blog. It’s simple, yet effective. A lot of times it’s very difficult to get that “perfect balance” between superb
    usability and visual appearance. I must say you’ve done a
    very good job with this. Additionally, the blog loads very fast for me
    on Internet explorer. Excellent Blog!エロ 下着

  254. криптобосс бездепозитный бонус

    Играйте бесплатно в Cryptoboss Casino с бездепозитным бонусом, не упустите возможность!
    Заработайте крупный выигрыш без вложений в Cryptoboss Casino – шикарная возможность выиграть крупный джекпот.
    Не пропустите новые акции в Cryptoboss Casino – лучший способ испытать удачу.
    Играйте на деньги с бездепозитным бонусом в Cryptoboss Casino – играйте и выигрывайте без риска.
    Бездепозитный бонус доступен для всех в Cryptoboss Casino – это шанс испытать свою удачу без риска.
    Играйте на деньги, не рискуя своими средствами в Cryptoboss Casino – лучший способ испытать свою удачу.
    Используйте уникальное предложение от Cryptoboss Casino для новичков – лучший способ испытать свою удачу.
    Cryptoboss Casino предлагает бездепозитный бонус для всех – шикарные призы и невероятные выигрыши ждут вас.
    Получите шанс выиграть крупный джекпот без вложений в Cryptoboss Casino – новые призы и возможности для вас.
    cryptoboss промокод на бездепозитный бонус cryptoboss промокод на бездепозитный бонус .

  255. игровые автоматы криптобосс hds5

    Захватывающие слоты в казино Cryptoboss, для незабываемого времяпрепровождения.
    Попробуйте свою удачу на автоматах в казино Cryptoboss, где выигрыш станет реальностью.
    Не упустите шанс выиграть крупный джекпот в казино Cryptoboss, чтобы испытать настоящий азарт.
    Играйте в казино Cryptoboss на лучших слотах, для тех, кто мечтает выиграть крупный приз.
    Получайте удовольствие от игры в автоматы на сайте Cryptoboss Casino, для тех, кто мечтает о крупном выигрыше.
    Лучшие игровые автоматы на сайте Cryptoboss, для любителей азартных игр.
    Получайте удовольствие от игры на автоматах в казино Cryptoboss, для азартных игроков.
    На сайте Cryptoboss ждут увлекательные слоты, для любителей азартных игр.
    Почувствуйте волнение от игры в казино Cryptoboss на автоматах, для тех, кто мечтает о крупном выигрыше.
    Лучшие слоты на сайте Cryptoboss ждут вас, для любителей азартных игр.
    Играйте в лучшие игровые автоматы на сайте Cryptoboss, где вас ждут крупные выигрыши.
    Играйте на деньги в лучших слотах на сайте Cryptoboss, где каждый может стать победителем.
    Погрузитесь в мир азарта, играя на сайте Cryptoboss Casino на автоматах, для любителей азартных игр.
    Получайте удовольствие от игры на сайте Cryptoboss Casino, которые порадуют вас выигрышами.
    Развлекайтесь играя на сайте Cryptoboss Casino на увлекательных слотах, для тех, кто мечтает о крупном выигрыше.
    Не упустите шанс сорвать большой куш в казино Cryptoboss на автоматах, для азартных игроков.
    Играйте в увлекательные слоты на сайте Cryptoboss Casino, где каждый может испыт
    cryptoboss casino автоматы криптобосс игровые автоматы на деньги .

  257. курс доллара в казахстане

    Текущий курс валют в Казахстане: актуальная информация
    Способы отслеживания курса валют в Казахстане
    Советы по обмену валют в Казахстане
    На сколько выгодно менять валюту в Казахстане
    Секреты выгодного обмена валюты в Казахстане
    курс доллара караганда курс рубля в казахстане на сегодня .

  261. lovedoll

    Companionship for Mental Health Challenges: jydollIndividuals facing mental health challenges, such as depression or severe social withdrawal

  268. オナホ おすすめ

    So, if you’re already the owner of a no matter a cheaper sex doll or a high-end brand, 人形 エロand you’re on the hunt for a reasonably priced alternative that doesn’t compromise on quality, I’d definitely recommend giving GSDoll a shot.

  271. ダッチワイフ

    高級 ラブドールaren’t afraid to use them all.Malay dishes employ a range of exotic fruits and herbs with Indian and Thai spices; Indonesian ones like satay with spicy-sweet peanut sauce also aren’t afraid to give South Asian spices the Southeast Asian treatment.

  280. リアルドール

    The familiarity of having a ‘companion’ can be comforting, particularly for jydollthose suffering from conditions like dementia, where a doll can provide a semblance of normalcy and emotional support.

  288. станок для лазерной резки листового металла

    Запчасти для лазерных станков: оперативная поставка
    Осуществляем быструю поставку оригинальных запчастей для лазерных станков, что гарантирует бесперебойную работу вашего оборудования.

    лазерная резка металла нержавейка станок лазерной резки металла с чпу .

  290. ラブドール えろ

    Snuggling together underneath the sheets also makes you feel closer to your partner and enhances your sense of intimacy.人形 エロCouples who talk to each other about their wants and desires have better sex and a healthier relationship,

  291. станок лазерной резки купить

    Высокоточные лазерные станки для вашего бизнеса
    Наши лазерные станки обеспечивают высокую точность резки металла, что идеально подходит для производства любой сложности.

    станок лазерной резки металла с чпу резка нержавеющей стали .

  298. микрокредит казахстан

    Наша компания помогает не только частным клиентам, но и малому и среднему бизнесу, предоставляя доступ к микрозаймам на выгодных условиях. Мы понимаем, насколько важно быстро получить финансовую поддержку для развития бизнеса, и предлагаем лучшие решения, которые помогут вашему делу расти и процветать.

    микро займы онлайн займы .

  302. ダッチワイフ

    The latest industry insights and research underscore this development.irontech doll Many high-end sex dolls now feature incredibly realistic details like authentic skin textures and precise anatomical designs.

  303. займ

    Наш сервис — это не просто подбор микрозаймов, это комплексная поддержка и помощь на всех этапах процесса кредитования. Мы предоставляем своим клиентам прозрачные и понятные условия, чтобы они могли принимать обоснованные решения.

    микрокредит казахстан микрозайм онлайн .

  314. ラブドール

    ラブドール エロor is the praise generic and could apply to anyone?If a love bomber tells you they love you or says any statements such as e never felt this way about anyone before,” or y life would feel meaningless without you?within a few weeks of meeting,

  318. вывоз старой мебели на свалку

    Мы занимаемся вывозом мусора газелями разной модификации от стандартных 6 м3 до больших 14 м3 есть также грузчики, работаем по Московской области. Преимущества вывоза мусора газелью в том, что она самая дешёвая услуга вывоза мусора.
    Подробный гид по вывозу мусора газелью, с максимальной экономией времени.
    Почему газель идеально подходит для вывоза мусора, которые должен знать каждый.
    Основные типы мусора, которые можно вывозить газелью, и какие ограничения существуют.
    Как сэкономить на вывозе мусора газелью, пользуясь опытом специалистов.
    Секрет успешного вывоза мусора газелью, понимая особенности процесса.
    вывоз строительного мусора газелью вывоз старой мебели на свалку .

  328. ダッチワイフ

    ラブドール 中古though he did turn his head and look directly at it.I always imagined that the problem was not ignorance but obstinacy—and that he was telling me he knew the identity of the object but wasn’t the least bit interested in retrieving it.

  347. tlovertonet

    Today, while I was at work, my cousin stole my iPad and tested to see if it can survive a 30 foot drop, just so she can be a youtube sensation. My apple ipad is now broken and she has 83 views. I know this is completely off topic but I had to share it with someone!

  351. ラブドール

    When I get home, everyone wants to hear the outrageous stories I might provide.えろ 人形 And I’ll share them (I’m sharing them now), but I hesitate to laugh because those people had something the rest of us don’t

  356. 外人 せっくす

    The familiarity of having a ‘companion’ can be comforting, particularly for jydollthose suffering from conditions like dementia, where a doll can provide a semblance of normalcy and emotional support.

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *