Linear Regression T Test For Coefficients

Programming, R, Regression, Statistics / By /
regression t test
Photo By Clint Shelton
<- Part I: Coefficient Estimates
Part III: Regression F Test ->

Table of Contents

Complete Code for Regression Formulas in RDownload


Context


Introduction to the Regression T Test

The first step in regression is to estimate the model coefficients and use them to created predicted dependent values. The linear regression T test is a method of testing the statistical significance of estimated those coefficients.

In part 1 I showed how dealing with linear regression in matrix rather than scalar form makes the solutions easier to work with and more intuitive to derive. This is continued in this part 2p; the standard solutions given are impractical and not a good starting point for understadning the concepts.
\[\require{cancel}\large{
\stackrel{\normalsize{\text{NO! – Worthless – Never Use}}\\}{\xcancel{\sigma_{\widehat{b}_0}^2 = \frac{\sigma_Y^2 \sum x^2}{n\sum(x-\widehat{\mu}_x)^2}}}
}\]
It is dramatically easier to understand and to do the required math for degrees of freedom, standard error, etc. (as they relate to linear regression) if vectors and matrices, rather than scalar variables only, are used.

The Test Hypotheses

The null hypothesis for every individual coefficient in vector \(b\) is that it is equal to 0.
\[\large{
\begin{align}
&y = Xb+\varepsilon & && &\normalsize \text{(Model)}\\ \\
&\widehat{b} = (X^\text{T}X)^{-1}X^\text{T}y & && &\normalsize \text{(coefficients estimator)}\\ \\
&\text{H}_0:b_\text{[i]} = 0 & && &\normalsize \text{(Null Hypotheses)} \\ \\
&\text{H}_a:b_{[i]}\ne 0 & && &\normalsize \text{(Alternative Hypotheses)}
\end{align}
}\]

The Test

The test statistic, is considered to be an instance of a T distribution (due to the assumption of normally distributed errors – more detail in derivation section). If the null, hypothesis is rejected, then that is considered statistical proof that the factor being tested is significantly contributing to the model.
\[\large{
\begin{align}
&t_{df_\text{model}} = \Big[\frac{\widehat{b}-0}{\widehat{\sigma}_\widehat{b}^2}\Big] \sim T(df_\text{model}) & && &\normalsize\text{(Test Statistic)} \\ \\
&P_T(t,df_\text{model}) \begin{cases}
>= a && \small\text{accept $H_0$} \\
< a && \small\text{reject $H_0$}
\end{cases} & && &\normalsize\text{(Test)}
\end{align}
}\]

WARNING

Be cautious of two conditions that can confound the T test. The first is including collinear features in the analysis model (which violates the assumption of independent input features), which biases the coefficient estimates toward zero.

# example of highly collinear feature confounding T test

rm(list=ls())
n <- 30
df <- data.frame(x1 = runif(n,-100,100))
df$e <- rnorm(n,0,35)

# x2 is collinear with x1
df$x2 <- sapply(df$x1,function(x) x + rnorm(1,0,5))


# y is only dependent on x1
df$y <- 40 + 2.5 * df$x1 + df$e

lm1 <- lm(y ~ x1 + x2 + 1, df)
lm2 <- lm(y ~ x1 + 1, df)
summary(lm1)
summary(lm2)

The other potential pitfall comes from the nature of running multiple separate tests. Suppose you have 20 unrelated features (to the dependent variable) in a model, and choose a test confidence level of 95%, what is the probability of at least 1 type-1 error (false positive)?

Given we know the factors are unrelated, the probability of 0 significant results is \(P(0) = 0.95^{20}\), which means probability of at least 1 type-1 error is \(P(\ge 1) = 1 – 0.95^{20} = 64.15%\). The more unrelated factors added to an analysis model the greater the expected value of type-1 errors.


The T Distribution

Any normal distribution can be transformed into a “standard normal” or Z distribution (i.e. normal distribution with mean 0 and standard deviation 1) by subtracting its own mean and dividing by its own standard deviation. This makes the Z distribution an analogue for every other normal distribution.
\[
Z = \frac{X-\mu_X}{\sigma_X}\sim\text{Nor(0,1)}
\]
This principle is most often applied in relation to a sample mean, which is itself a random variable (discussed in greater detail in the next section on sample distributions). If we sampled correctly, then according to the central limit theorem, the sample mean should be approximately normally distributed. Additionally, from the basic properties of expected value and standard error for sample mean, both can be written in terms of a single random variable from the same population.
\[\large{
\begin{align}
\widehat{\mu}_X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\sim RV && Z= \frac{\widehat{\mu}_X\;-\;\mu_{\widehat{\mu}_X}}{\sigma_{\widehat{\mu}_X}}
\end{align}
}\]
However, almost always the population standard deviation is unknown, which means that the standard deviation for the sample mean, which remember is also a random variable, needs to be estimated, and also that the sample mean itself is a parameter in that estimator. The formula for a Z value using an estimated standard deviation produces a T distribution, which approximates, but is not exactly equal to the Z distribution.
\[\large
t_{df} = \frac{\widehat{\mu}_X\;-\;\mu_{\widehat{\mu}_X}}{\widehat{\sigma}_{\widehat{\mu}_X}}\sim T(df)
\]
The proof for why using an estimated standard deviation transforms the Z distribution into a T distribution is covered in this post. The T distribution accepts a single parameter representing the degrees of freedom of the sample standard deviation and it becomes closer to the Z distribution as the degrees of freedom tend toward infinity.
\[\large
\lim_{df\rightarrow\infty} T(df) = Z
\]


Sampling Distributions, Estimators, and “Standard Error”

A ubiquitous term in statistics especially in regards to hypothesis testing is “standard error.” It is often defined in an esoteric way so I briefly reintroduce it here with a more functional definition.

Imagine that you want to measure the height of everyone in your town. For many this would be impractical, but you may be able to estimate the height of your town by creating a sampling distribution. A sampling distribution is exactly what it sounds like: a probability distribution created from a sample. Your sample estimates the population it was drawn from (if you did your sampling correctly).

The values from your sampling distribution can be used in formulas called estimators, which as the name suggests are intended to estimate unknown values of the population distribution (e.g. mean, variance, et.c). See example below.
\[\large
\begin{align}
&X\sim\text{R.V.}\;\;\text{E}[X]=\mu_X && \normalsize (X\text{ is a random variable with unknown mean }\mu_X) \\ \\
&x =\{x_1,x_2,\ldots,x_n\} && \normalsize (x\text{ is a set containing a sample drawn from }X) \\ \\
&\widehat{\mu}_X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i && \normalsize (\widehat{\mu}_X\text{ is an estimator for }\mu_X)
\end{align}
\]
Every value in an estimator can be considered an instance (i.e. value generated from) of the population random variable. The aggregation of many random variables is itself a random variable (e.g. if \(X\) and \(Y\) are random variables then \(C=X+Y\sim RV\)). Hence estimators are also random variables.

Estimators are random variables built on sampling distributions and “Standard Error” is simply the standard deviation of an estimator.
\[\large
\begin{align}
&\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i = \widehat{\mu}_X \sim RV &&\normalsize (\widehat{\mu}_X\text{ is a random variable}) \\ \\
&\text{Std.Err}[\widehat{\mu}_X] = \sqrt{\text{Var}[\widehat{\mu}_X]}
\end{align}
\]


Estimator Bias and Degrees of Freedom


Biased vs Unbiased Estimator

Estimators are both formulas and random variables and as such they have expected values. If the expected value of an estimator is NOT equal to the what it is estimating, then the estimator is “biased.”
\[\large
\begin{align}
&Y\sim RV & && &\text{E}[Y] = \mu_Y& \\ \\
&\widehat{\mu}_Y = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i & && & \stackrel{\text{unbiased estimator}\\}{\text{E}[\widehat{\mu}_Y] = \mu_Y} \\ \\
&\stackrel{\text{unadjusted formula}\\}{\widehat{\sigma}_Y^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{(y-\widehat{\mu}_Y)^2}} & && &\stackrel{\text{biased estimator}\\}{\text{E}[\widehat{\sigma}_Y^2] = \frac{n-1}{n} \sigma_Y^2}
\end{align}
\]
As you can see above sample mean (\(\widehat{\mu}_Y\)) is an unbiased estimator. However, the standard sample variance (\(\widehat{\sigma}_Y^2\)) is biased; it estimates \(\sigma_Y^2\), but its expected value is not equal to \(\sigma_Y^2\). The formula requires an adjustment to be unbiased.

Degrees of Freedom – Functional Definition

Degrees of freedom can be a confusing concept. The most straight forward way to approach it is through its functional definition: Degrees of freedom is the expected value of the sum of squared errors from a variance estimator expressed in units of the variance being estimated.

To understand this look at the example for the standard sample variance formula.
\[\large{
\begin{align}
&\stackrel{\text{unadjusted formula}\\}{\widehat{\sigma}_Y^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (y_i-\widehat{\mu}_Y)^2} & && & \stackrel{\text{unadjusted formula}\\}{\widehat{\sigma}_Y^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n SSE} \\ \\
&\text{E}[SSE_{\widehat{\sigma}_Y^2}] = df\;\sigma_Y^2 & && & df = (n-1) \\ \\
\end{align}
}\]
The degrees of freedom for the standard variance estimator is \((n-1)\). The DF for any variance estimator are used to adjust the estimator formula so that it is unbiased (how to find the degrees of freedom for a variance estimator is shown in the fromula section).
\[\require{cancel}\large{
\begin{align}
&\stackrel{\text{unadjusted formula}\\}{\widehat{\sigma}_Y^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (y_i-\widehat{\mu}_Y)^2} \;\longrightarrow\; \stackrel{\text{bias adjusted formula}\\}{\widehat{\sigma}_Y^2 = \frac{\cancel{n}}{df}\frac{1}{\cancel{n}}\sum_{i=1}^n (y_i-\widehat{\mu}_Y)^2} \\ \\
&\longrightarrow\;\stackrel{\text{unbiased estimator}\\}{\text{E}[\widehat{\sigma}_Y^2] = \text{E}\Big[\frac{1}{df}\sum_{i=1}^n(y_i-\widehat{\mu}_Y)^2\Big] = \frac{1}{\cancel{df}}\cancel{df}\sigma_Y^2}
\end{align}
}\]

Degrees of Freedom – Intuitive Explanation

The standard sample variance estimator formula uses a 1-dimensional mean estimator. Picture the observed values and the mean as points on a line. With only one actual point the mean estimator will have that same value and variance will be zero. Variance is only possible with two or more points.

A 2-dimensional mean estimator can be conceptualized as line drawn on a plane. With only two points the line will be touching both, which again would produce zero variance. In 2 dimensions variance from an estimator can only occur with 3 or more points. A 3-dimensional mean produces a plane. With only 3 points the plane touches all three points, which again makes zero variance. In 3 dimensions 4 or greater points are required for variance from an estimator.

Only the first value after the mean has been established is free to produce variance. And the expected squared deviation from mean is the same for every value. If 4 values exist, but only the 4th contributed any squared distance a sum (which is distributed among all 4 in the actual calculation) then the expected value of variance is 1/4th what it would be with 4 values and a non-estimated mean.


Formulas and Derivation


Regression T Test Formulas

\[\large
\begin{align}
\widehat{y} = \stackrel{n\times q\;q\times 1}{X\;\;\widehat{b}} = \widehat{\mu}_{Y|X},\;\;n>q && &\normalsize \text{(model estimate)} \\ \\
\text{Var}[\widehat{b}] = (X^\mathrm{T}X)^{-1} \sigma^2_Y && &\normalsize \text{(covariance matrix for coefficient estimate)} \\ \\
\text{Var}[\widehat{b}] = (R_X^\mathrm{T}R_X)^{-1} \sigma^2_Y && &\normalsize \text{(more efficient version of cov matrix)} \\ \\
df_\text{model}= (n\;-\;q)&& &\normalsize \text{(degrees of freedom for model)} \\ \\
\widehat{\sigma}^2_\text{model} = \frac{1}{df_\text{model}}\sum_{i=1}^n(y_i-\widehat{y}_i)^2 && &\normalsize \text{(model variance estimator)} \\ \\
t_{df_\text{model}} = \Bigg[\frac{\widehat{b}\;-\;0}{\sqrt{\text{diag}((X^\text{T}X)^{-1}\widehat{\sigma}_Y^2)}}\Bigg] && &\normalsize \text{(t statistic vector)}
\end{align}
\]


R Code For Regression T Test

The R code below manually implements the formulas from above, also uses the standard R functionality to achieve the same results, and then compares the two.

If you are new to R I suggest R-Studio as and IDE.

######################################
## Generate Data, Declare Variables ##
######################################

rm(list = ls())
`%+%` <- function(a, b) paste(a, b, sep="")

IsConstFactor <- T    # control if constant factor in model
IsSigFactors <- T     # control if significant factors in model
IsNonSigFactor <- T   # control if non-significant factor in model

n <- 100              # sample size
sigma.model <- 40     # error standard deviation

# independent factors aka design matrix
X <- cbind(                         
  if(IsConstFactor == T){rep(1,n)}else{NULL}
  ,if(IsSigFactors == T){runif(n,-100,100)}
  ,if(IsSigFactors == T){rpois(n,10)}
  ,if(IsNonSigFactor == T){rexp(n,0.1)}else{NULL}
)

# coefficient vector
b <- rbind(
  if(IsConstFactor == T){40}else{NULL}  
  ,if(IsSigFactors == T){2.5}
  ,if(IsSigFactors == T){4}
  ,if(IsNonSigFactor == T){0}else{NULL}
)   

# error, linear regression model, baseline estimate
e <- cbind(rnorm(n,0,sigma.model))
y <- X %*% b + e
baseline <-                       
  if(IsConstFactor == T) {
    mean(y)
  } else {0}

# QR factorization of X for more
# efficient processing
qr <- qr(X)
Q <- qr.Q(qr)
R <- qr.R(qr)
rm(qr)

# labels
colnames(X) <- c("X" %+% seq(as.numeric(!IsConstFactor),
  ncol(X) - as.numeric(IsConstFactor))) 
rownames(b) <- c("b" %+% seq(as.numeric(!IsConstFactor),
  nrow(b) - as.numeric(IsConstFactor)))


###############################
## Linear Regression Using R ##
###############################

model.formula <- if(IsConstFactor == T) {
  "y ~ 1" %+% paste(" + " %+% colnames(X)[2:ncol(X)], collapse='')
} else {"y ~ 0 " %+% paste(" + " %+% colnames(X), collapse='')}
linear.model <- lm(model.formula,as.data.frame(X))


#######################################
## Perform Liner Regression Manually ##
#######################################

b_ <- solve(R) %*% t(Q) %*% y     # estimated coefficients   
#b_ <- solve(t(X) %*% X) %*% t(X) %*% y
rownames(b_) <- rownames(b)
y_ <- X %*% b_                    # estimated model                   

# degrees of freedom
df.model <- n - nrow(b_)

# residuals
res <- cbind(
  c(y - y_)          # model/"unexplained" error
); colnames(res) <- c("model")

# variance
var_.model <- sum(res[,"model"]^2) / df.model

# covariance matrix for coefficient estimators 
covar_.b_ <- chol2inv(R) * var_.model
#covar_.b_ <- solve(t(X) %*% X) * var_.model
colnames(covar_.b_) <- rownames(b_)
rownames(covar_.b_) <- rownames(b_)

# T-tests
t.stat <- b_ / sqrt(diag(covar_.b_))
pt <- 2 * pt(-abs(t.stat),df.model)
ret.coef <- cbind(b_,sqrt(diag(covar_.b_)),t.stat,df.model,pt)
colnames(ret.coef) <- c("Coef.","Std. Error","T-stat","df","p-value")
rownames(ret.coef) <- rownames(b_)


#############
## Compare ##
#############

summary(linear.model)
ret.coef


Step 1: Find the Standard Error of the Coefficients Estimator

In order to calculate the T statistic of the coefficients their standard errors must be calculated. Again we have a situation where the scalar form of the solution is difficult to intuit and explodes in complexity as the number of variables in the model grows.

Below is the scalar formula for the standard deviation of the first coefficient estimate in a 3 factor model (it’s so large I had to display using tinyscript).
\[\scriptsize
\text{Std.Error}[\widehat{b}_1] = \frac{\sum x_3^2 \sigma_Y^2}{\sum x_1^2(\sum x_2^2\sum x_3^2 – (\sum x_2 x_3)^2) -\sum x_1 x_2(\sum x_1 x_2 \sum x_3^2 -\sum x_1 x_3 \sum x_2 x_3) +\sum x_1 x_3(\sum x_1 x_2 \sum x_2 x_3 -\sum x_2^2 \sum x_1 x_3)}
\]
And again the path to avoid this is to use matrices and vectors to create expressions that are more easily read and manipulated.

“Standard Error” of Coefficients in Matrix Form

To find the standard deviation of an estimator using matrices, we have to expand some basic random variable properties from scalar to matrix form.

In scalar algebra variance and covariance are presented as separate concepts / formulas.
\[\large
\begin{align}
X\sim\text{R.V.}\;\;&\;\;Y\sim\text{R.V.} && \normalsize (X\text{ and }Y\text{ are random variables}) \\ \\
\text{Var}[X] &= \text{E}[X^2]\;-\;\text{E}[X]^2 && \normalsize (\text{variance of }X) \\ \\
\text{Cov}[X,Y] &= \text{E}[XY]\;-\;\text{E}[X]\text{E}[Y] && \normalsize (\text{covariance of $X$ and }Y) \\ \\
\text{Cov}[X,X] &= \text{Var}[X] && \normalsize (\text{cov of $X$ and $X$ is var of }X)
\end{align}
\]
However, generalizing the concept of variance and covariance to vectors containing random variables produces a 2-dimensional array called a covariance matrix, which contains the variances and/or covariances for all the elements in the original vector(s).
\[\large
\begin{align}
v &= \begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix} && \normalsize (\text{$X$ and $Y$ are R.V.’s}) \\ \\
\text{Var}[v] &= \text{E}[v^2]\;-\;\text{E}[v]^2 && \normalsize (v^2 = vv^\mathrm{T})\\ \\
&= \normalsize{\begin{bmatrix}
\text{E}[X^2] & \text{E}[XY] \\
\text{E}[XY] & \text{E}[Y^2]
\end{bmatrix}\;-\;
\begin{bmatrix}
\text{E}[X]^2 & \text{E}[X]\text{E}[Y] \\
\text{E}[X]\text{E}[Y] & \text{E}[Y]^2
\end{bmatrix}} \\ \\

&= \normalsize{\begin{bmatrix}
\text{Var}[X] & \text{Cov}[X,Y] \\
\text{Cov}[X,Y] & \text{Var}[Y]
\end{bmatrix}} && \normalsize (\text{covariance matrix of $v$}) \\ \\

\end{align}
\]
By calculating the covariance matrix for the estimator vector \(\widehat{b}\) we can obtain the variance estimates for every factor in a single equation. Since every factor is assumed to be independent the covariances are assumed to be 0.
\[\large
\begin{align}
\widehat{b} = \begin{bmatrix}
\widehat{b}_1 \\
\widehat{b}_2 \\
\vdots \\
\widehat{b}_q
\end{bmatrix} &&
\text{Var}[\widehat{b}] = \begin{bmatrix}
\text{Var}[\widehat{b}_1] & \text{Cov}[\widehat{b}_1,\widehat{b}_2] & \ldots & \text{Cov}[\widehat{b}_1,\widehat{b}_q] \\
\text{Cov}[\widehat{b}_1,\widehat{b}_2] & \text{Var}[\widehat{b}_2] & \ldots & \text{Cov}[\widehat{b}_2,\widehat{b}_q] \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\text{Cov}[\widehat{b}_1,\widehat{b}_q] & \text{Cov}[\widehat{b}_2,\widehat{b}_q] & \ldots & \text{Var}[\widehat{b}_q]
\end{bmatrix}
\end{align}
\]
Remember that an assumption of the linear regression model is that the design matrix \(X\) can be treated as a fixed constant as opposed to the dependent vector \(y\), which is a random vector.
\[\large
\begin{align}
\widehat{b} &= (X^\mathrm{T}X)^{-1}X^\mathrm{T}y \\ \\
\text{Var}[\widehat{b}] &= \text{Var}[(X^\mathrm{T}X)^{-1}X^\mathrm{T}y] && \normalsize (\text{Var}[cy] = c\text{Var}[y]c^\mathrm{T}) \\ \\

&= (X^\mathrm{T}X)^{-1}X^\mathrm{T}\;\stackrel{n\times n}{\text{Var}[y]}\;X(X^\mathrm{T}X)^{-1} && \normalsize (\text{every element of $\stackrel{n\times n}{\text{Var}[y]}$ is $\sigma_Y^2$}) \\ \\

&= (X^\mathrm{T}X)^{-1}X^\mathrm{T}X(X^\mathrm{T}X)^{-1}\stackrel{1\times 1}{\sigma_Y^2} && \normalsize (X^\mathrm{T}X(X^\mathrm{T}X)^{-1}=I) \\ \\ \\

&= (X^\mathrm{T}X)^{-1}\sigma_Y^2 && \normalsize (\text{covariance matrix of $\widehat{b}$})
\end{align}
\]
The diagonal of the covariance matrix contains the variances so the standard error would be the square root of the elements in that vector.
\[\large
\text{Std.Err}[\widehat{b}] = \bigg[\sqrt{\text{diag}((X^\mathrm{T}X)^{-1}\sigma_Y^2)}\bigg]
\]


QR Decomposition

Just like the coefficient estimator formula, the standard error formula can be factored into its \(QR\) components an then reduced into a more computationally efficient solution.
\[\large
\begin{align}
\stackrel{n\times q}{X} &= \stackrel{n\times q}{Q_X} \stackrel{q\times q}{R_X} && \normalsize (n>q) \\ \\
\text{Var}[\widehat{b}] &= (X^\mathrm{T}X)^{-1}\sigma_Y^2 && \normalsize (X = Q_X R_X)\\ \\
&= (R_X^\mathrm{T}Q_X^\mathrm{T}Q_X R_X)^{-1}\sigma_Y^2 && \normalsize (\text{$Q_X$ is semi-orthogonal})\\ \\ \\
&= (R_X^\mathrm{T}R_X)^{-1}\sigma_Y^2
\end{align}
\]
\(R_X\) being a square upper triangle matrix it has elements that are known to be 0 and therefore the producing \((R_X^\mathrm{T}R_X)^{-1}\) is more computationally efficient than \((X^\mathrm{T}X)^{-1}\).


Step 2: Estimate “Model” Variance


What is “Model” Variance?

Model variance is the variance of the dependent random variable \(Y\) from a linear regression model. It is equal to the variance of the error term \(\varepsilon\) because that term is the only random component of the model. Adding constants to a random variable does not change the variance: \(\text{Var}[c + Y] = \text{Var}[Y]\).

The model variance functions by using the conditional expected value of \(Y\) ie expected value given a specific row vector \(x\). The estimated model’s predicted values are the estimators of the model’s conditional expected value.
\[\large{
\begin{align}
\sigma_Y^2 = \sigma_\varepsilon^2 = \text{E}\Big[(Y – \mu_{Y|x})^2\Big] &&
\mu_{Y|x} = \text{E}[Y|x] &&
\widehat{\mu}_{Y|x} = \widehat{y}
\end{align}
}\]
Obviously accurately estimating the model variance depends on identifying all of the model factors. If factors are missing then the estimate will be greater than the actual model variance.

Degrees of Freedom for the Model Variance Estimator

Degrees of freedom is used to adjust variances estimators for bias. The expected value of the sum of squared errors from a variance estimator is equal to degrees of freedom times the variance being estimated.
\[\large{
\text{E}[SSE_\text{model}] = df_\text{model}\;\sigma_Y^2
}\]
The sum of squared errors for the model variance estimator uses the regression model estimator.
\[\large
\begin{align}
\text{E}[SSE_\text{model}] &= \text{E}[\sum_{i=1}^n (y_i\;-\;\widehat{y}_i)^2] && \small (1) \\ \\

&= \text{E}[\sum_{i=1}^n y_i^2 \;-\; 2y_i \widehat{y}_i + \widehat{y}_i^2]
\end{align}
\]
It is easier to cancel and combine terms by representing these sums in vector form. If you need a refresher see the matrix quick reference.
\[\require{color}\large
\begin{align}
\definecolor{nick_green}{RGB}{0,69,57}
= \text{E}\Big[y^\mathrm{T}y \;-\; 2\widehat{y}^\mathrm{T}y + \widehat{y}^\mathrm{T}\widehat{y}\Big] && \small (2)
\end{align}
\]
It can be shown that the middle term and the final term in the sum are equal by expanding the final term and canceling: \(\widehat{y}^\text{T}\widehat{y} = y^\text{T}X(X^\text{T}X)^{-1}\cancel{X^\text{T}X(X^\text{T}X)^{-1}}X^\text{T}y = \widehat{y}^\text{T}y\).
\[\large
\begin{align}
&= \text{E}\Big[y^\mathrm{T}y \;-\; \cancel{2}\widehat{y}^\mathrm{T}\widehat{y} + \cancel{\widehat{y}^\mathrm{T}\widehat{y}}\Big] && \small (3)\\ \\
&= \text{E}[y^\mathrm{T}y] \;-\; \text{E}[\widehat{y}^\mathrm{T}\widehat{y}]
\end{align}
\]
Two basic properties of random variables are \(\text{Var}[Y] = \text{E}[Y^2] – \text{E}[Y]^2\), which can be rearranged into \(\text{E}[Y^2] = \text{Var}[Y] + \text{E}[Y]^2\), and \(\text{E}[X + Y] = \text{E}[X] + \text{E}[Y]\) given \(X\) and \(Y\) are independent. These can be generalized to vectors. Consider that \(y^\mathrm{T}y = \sum{y^2}\) and also every element of \(y\) and \(\widehat{y}\) are assumed independent.
\[\large
\begin{align}
= \text{Var}[\sum_{i=1}^ny_i] + \text{E}[y]^\mathrm{T}\text{E}[y] \;-\; \text{Var}[\sum_{i=1}^n\widehat{y}_i] – \text{E}[\widehat{y}]^\mathrm{T}\text{E}[\widehat{y}] && \small (4)
\end{align}
\]
It might not be immediately clear, but \(\text{E}[y]^\mathrm{T}\text{E}[y] = \text{E}[\widehat{y}]^\mathrm{T}\text{E}[\widehat{y}]\). Recall that the linear regression model can be rearranged into \(\varepsilon = y – Xb\) and also that \(\varepsilon\) is assumed to be a normally distributed random variable with mean 0.

The first step in linear regression is to pick the “best” estimate for \(b\), which will yield \(\widehat{y} = X\widehat{b}\). The choice of \(\widehat{b}\) will not change the expected value of \(\varepsilon\). Therefore, \(\text{E}[\varepsilon] = \text{E}[y – \widehat{y}]\) implies \(\text{E}[y]=\text{E}[\widehat{y}]\).

This is one example of why it is so important to validate the assumptions of the linear model. I’ll discuss in a future post how to interrogate the assumptions, which can be incorrect for your factors or made incorrect through bad sampling practices.
\[\large
\begin{align}
&= \text{Var}[\sum_{i=1}^ny_i] \;-\; \text{Var}[\sum_{i=1}^n\widehat{y}_i] && \small (5)
\end{align}
\]

Because every element of \(y\) is assumed to be independent, the variance of the sum of elements is the same as the sum of the individual variances. So \(\text{Var}[y^\mathrm{T}y] = \text{Var}[\sum{y_i}] = \sum{\text{Var}[y_i]} = n\sigma_Y^2\).
\[\large
\begin{align}
&= n\sigma_Y^2 \;-\; \sum_{i=1}^n{\text{Var}[\widehat{y}_i]} && \small (6) \\ \\

&= n\sigma_Y^2 \;-\; \sum_{i=1}^n{\text{Var}[X_{[i,]}\widehat{b}]} && \small (\text{$X_{[i,]}$ is the $i$th row from $X$}) \\ \\

&= n\sigma_Y^2 \;-\; \sum_{i=1}^n{\text{Var}[X_{[i,]}(X^\mathrm{T}X)^{-1}X^\mathrm{T}y]} && \small (\widehat{b} = (X^\mathrm{T}X)^{-1}X^\mathrm{T}y) \\ \\

&= n\sigma_Y^2 \;-\; \sum_{i=1}^n{X_{[i,]}(X^\mathrm{T}X)^{-1}X^\mathrm{T}\stackrel{n\times n}{\text{Var}[y]}X(X^\mathrm{T}X)^{-1}X_{[i,]}^\mathrm{T}} && \small (\text{Var}[cy] = c\text{Var}[y]c^\mathrm{T}) \\ \\

&= n\sigma_Y^2 \;-\; \sum_{i=1}^n{X_{[i,]}(X^\mathrm{T}X)^{-1}X^\mathrm{T}X(X^\mathrm{T}X)^{-1}X_{[i,]}^\mathrm{T}}\cdot\stackrel{1\times 1}{\sigma_Y^2} && \small (\text{every element of $\text{Var}[y]$ is $\sigma_Y^2$}) \\ \\

&= n\sigma_Y^2 \;-\; \sum_{i=1}^n{X_{[i,]}(X^\mathrm{T}X)^{-1}X_{[i,]}^\mathrm{T}}\cdot\stackrel{1\times 1}{\sigma_Y^2}
\end{align}
\]
The sum \(\sum_{i=1}^n{X_{[i,]}(X^\mathrm{T}X)^{-1}X_{[i,]}^\mathrm{T}}\) can be expressed as \(\sum_{j=1}^q\text{diag}\big(X^\mathrm{T}X(X^\mathrm{T})^{-1}\big)_{[j]}\).

To clarify why this is look at the example of a single iteration of the a similar sum (i.e. the first row vector from a matrix, multiplied by a square matrix, and then multiplied by the transposition of the row vector). Let the data matrix for this example be \(Q\) and the square matrix be \(O\), with column labels for \(Q\): \(X\), \(Y\), and \(Z\).

Remember, matrix multiplication is ROW to COLUMN. So the first multiplication will be the row vector used in 3 dot products, one for each column in the square matrix.
\[\require{color}\large
\begin{align}
&\stackrel{\Large Q_{[1,]}}{\begin{bmatrix}
\color{gold}{\overrightarrow{\color{aqua}{\overrightarrow{\color{darkorange}{\overrightarrow{\color{white}{X_1}}}}}}} &
\color{gold}{\overrightarrow{\color{aqua}{\overrightarrow{\color{darkorange}{\overrightarrow{\color{white}{Y_1}}}}}}} &
\color{gold}{\overrightarrow{\color{aqua}{\overrightarrow{\color{darkorange}{\overrightarrow{\color{white}{Z_1}}}}}}}
\end{bmatrix}}
\stackrel{\Large O}{
\begin{bmatrix}
\color{gold}{\begin{array}
\\ A^2 \\ AB \\ AC
\end{array}} &
\color{aqua}{\begin{array}
\\ AB \\ B^2 \\ BC
\end{array}} &
\color{darkorange}{\begin{array}
\\ AC \\ BC \\ C^2
\end{array}}
\end{bmatrix}}
\stackrel{\Large Q_{[1,]}^\mathrm{T}}{
\begin{bmatrix}
X_1 \\ Y_1 \\ Z_1
\end{bmatrix}} = \\ \\

&\small{\begin{bmatrix}
\color{gold}{A^2 X_1+ AB Y_1+ AC Z_1} & \color{aqua}{AB X_1+ B^2 Y_1+ BC Z_1} & \color{darkorange}{ACX_{1,1} + BCY_1 + C^2Z_1}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\color{gold}{X_1} \\ \color{aqua}{Y_1} \\ \color{darkorange}{Z_1}
\end{bmatrix}=} \\ \\

&\small{\begin{bmatrix}
\color{gold}{A^2 X_1^2+ AB X_1 Y_1+ AC X_1 Z_1} \;+\; \color{aqua}{AB X_1 Y_1+ B^2 Y_1^2+ BC Y_1 Z_1} \;+\; \color{darkorange}{AC X_1 Z_1+ BC Y_1 Z_1+ C^2 Z_1^2}
\end{bmatrix}}
\end{align}
\]
Evaluating this same expression for every row vector in \(Q\) and summing those results yields the following.
\[\large
\small{\begin{bmatrix}
\color{gold}{A^2 \sum X^2+ AB \sum X Y+ AC \sum X Z} \;+\; \color{aqua}{AB \sum XY+ B^2 \sum Y^2+ BC \sum YZ} \;+\; \color{darkorange}{AC \sum XZ+ BC \sum YZ+ C^2 \sum Z^2}
\end{bmatrix}}
\]
Compare the result above to a matrix multiplication of \(Q^\mathrm{T}QO\).
\[\require{color}\normalsize
\begin{align}
&\stackrel{\Large Q^\mathrm{T}Q}{\begin{bmatrix}
\color{gold}{\sum X^2} & \color{gold}{\sum XY} & \color{gold}{\sum XZ} \\
\color{aqua}{\sum XY} & \color{aqua}{\sum Y^2} & \color{aqua}{\sum YZ} \\
\color{darkorange}{\sum XZ} & \color{darkorange}{\sum YZ} & \color{darkorange}{\sum Z^2} \\
\end{bmatrix}}
\stackrel{\Large O}{\begin{bmatrix}
\color{gold}{\begin{array}
\\ A^2 \\ AB \\ AC
\end{array}} &
\color{aqua}{\begin{array}
\\ AB \\ B^2 \\ BC
\end{array}} &
\color{darkorange}{\begin{array}
\\ AC \\ BC \\ C^2
\end{array}}
\end{bmatrix}} = \\ \\
&\small{\begin{bmatrix}
\color{gold}{ A^2\sum X^2 + AB\sum XY + AC\sum XZ} & & \\
& \color{aqua}{ AB\sum XY + B^2\sum Y^2 + BC\sum YZ} & \\
& & \color{darkorange}{ AC\sum XZ + BC\sum YZ + C^2\sum Z^2}
\end{bmatrix}}
\end{align}
\]
The values in the diagonal of the matrix multiplication are the same as the terms added together in the original summation (i.e. \(\sum_{i=1}^n Q_{[i,]}OQ_{[i,]}^\mathrm{T} = \sum_{j=1}^q\text{diag}(Q^\mathrm{T}QO)_{[j]}\)).
\[\large
\begin{align}
&= n\sigma_Y^2 \;-\; \sum_{j=1}^q\text{diag}(X^\mathrm{T}X(X^\mathrm{T}X)^{-1})_{[j]}\cdot\sigma_Y^2 && \small (7) \\ \\
&= n\sigma_Y^2 \;-\; \sum_{j=1}^q\text{diag}(\stackrel{q\times q}{I})\cdot\sigma_Y^2 \\ \\
&= n\sigma_Y^2 \;-\; q\sigma_Y^2 \\ \\
&= (n-q)\sigma_Y^2\longrightarrow df_\text{model} = (n-q)
\end{align}
\]
With the degrees of freedom formula we can now construct an unbiased model variance estimator.
\[\large{
\widehat{\sigma}_\text{model}^2 = \frac{1}{df_\text{model}}SSE_\text{model} = \frac{1}{(n-q)}\sum_{i=1}^n(y_i-\widehat{y}_i)^2
}\]


Step 3: Construct the Test Statistic

The T test is a test of the individual coefficient estimates of the model: \(\widehat{b} = (X^\text{T}X)^{-1}X^\text{T}y\). The null hypothesis is that every coefficient is 0. This gives us an implicit assumption: \(\text{E}[\widehat{b}_i] = 0,\;i\in [1,q]\).

Since \(y\) is normally distributed and \(X\) can be treated as a matrix of constants, every element of vector \(\widehat{b}\) is normally distributed. According to the test null hypothesis the expected value of each estimate is 0. The standard errors (the standard deviation of the estimator random variables) is given by \((X^\text{T}X)^{-1}\sigma_Y^2\) and the model estimator for \(\sigma_Y^2\) is \(\widehat{\sigma}_Y^2\) making the estimated standard error \(\widehat{\text{Var}}[\widehat{b}] = (X^\text{T}X)^{-1}\widehat{\sigma}_Y^2\).

A T random variable can be constructed from a normally distributed random variable minus its own mean and divided by a bias adjusted variance estimator.
\[\large{
t_{df_\text{model}} = \Bigg[\frac{\widehat{b}\;-\;0}{\sqrt{\widehat{\text{Var}}[\widehat{b}]}}\Bigg] = \Bigg[\frac{\widehat{b}\;-\;0}{\sqrt{\text{diag}((X^\text{T}X)^{-1}\widehat{\sigma}_Y^2)}}\Bigg]
}\]
If it is not true that the mean for a coefficient is 0, then with enough data (how much is determined by the standard error) the T statistic produced for that coefficient will have an associated p-value that is sufficiently improbable given the null hypothesis and therefore disproving the null hypothesis.

Related Posts

7,466 thoughts on “Linear Regression T Test For Coefficients”

  4. content warning

    In this spine-tingling engagement, players must guide in the course a series of challenging scenarios. https://contentwarninggames.org requires you to up vital decisions to keep triggering subtle topics. The diversion’s objective is to burgeon through levels while maintaining awareness and avoiding factious subjects

  5. mabar88

    Have you ever thought about including a little bit more
    than just your articles? I mean, what you say is valuable and all.
    Nevertheless think of if you added some great visuals or video clips to give your posts more, “pop”!
    Your content is excellent but with images and
    clips, this website could certainly be one of the very best in its niche.

    Good blog!

  6. mortal kombat

    In this iconic fighting courageous, players bargain in head-to-head battles, utilizing a roster of characters with lone fighting styles and fatalities. The necessary ideal in https://mortalkombatplay.com is to outfight opponents in harsh, high-stakes matches, making it a favorite all of a add up to fighting contest enthusiasts.

  7. mauslot

    I feel this is one of the such a lot vital information for me.

    And i am happy reading your article. But should statement on few basic issues, The website taste
    is ideal, the articles is truly excellent : D.
    Good process, cheers

  34. ラブドール

    エロ ラブドール1 If the person in question previously showed emotional warmth and displayed reciprocal interest and care in the relationship yet now acts emotionally cold after a breakup,it may be a new boundary they are enforcing and not necessarily narcissism.

  36. ラブドール

    Unsettling as everything might be, I’m able to’t enable but be amazed from the meticulous development and keen focus エロ 人形to depth. For many years, McMullen and the artists at Abyss have already been carefully refining their course of action and styles,

  37. ラブドール

    That wraps up another week of news. It was a pretty short week, but with plentyエロ 人形 of new releases. Bimbo dolls, expressive/smiling heads, and weird stuff from Dolls Castle kept things interesting this week.

  43. ラブドール

    As we explore these possibilities, continuous jydollevaluation of their implications is essential to ensure they enhance rather than detract from human connections.

  45. BeamNG drive

    Oblation a very matter-of-fact driving simulation with soft-body physics, https://beamngdrv.com allows players to policy test with channel crashes and stunts. The main unbigoted is to explore miscellaneous terrains and complete multiform driving scenarios.

  61. solar smash

    In this unequalled stratagem, solar smash, the strongest aspiration is to wipe out planets with numerous weapons. Players can analysis weird methods of destruction and enjoy the spectacular outcomes, providing a captivating sandbox experience.

  67. CarlosEnams

    Официальный сайт 1Вин
    1Win – популярное среди игроков из стран СНГ казино. 1Win официально был открыт в 2012 году, сейчас входит в ТОП лучших площадок для азартных игр. Доступны обычные автоматы, спортивные росписи, лайвы. Реализуется щедрая бонусная политика, которая делает игру максимально выгодной и приятной. Перечень слотов постоянно расширяется, в каталоге размещаются слоты проверенных разработчиков.

  68. ラブドール

    I explored several Internet forums on this topic so I could examine what different respondents had to say about the meaning of this poignant expression.えろ 人形And the results of my informal “field study” turned out to be a lot less predictable—and far more suggestive—than I’d anticipated.

  69. ラブドール

    feeling emotionally unsafe comes from its opposite.えろ 人形feeling that either the people who matter most to you or those whom you most depend upon for survival consider the “real” you and the expression of your true needs and feelings unacceptable,

  74. Bullet Force

    This first-person shooter unflinching focuses on multiplayer combat. Players compete in different game modes like Team Deathmatch and Free-For-All in Bullet Force, using a distinct arsenal of weapons. The game’s reasonable graphics and unwrinkled gameplay make https://bulletforcgames.org a enlivening face on fans of FPS games.

  78. tasty planet

    Starting as a small bacterium, players in tasty planet obligated to eat smaller objects to grow. The profession’s brute dispassionate is to take up eating and increasing in volume, at the end of the day fitting capable of consuming planets. Tasty Planet provides a unexcelled and rousing gameplay ordeal where growth is the description to success.

  81. 小学生 ラブドール

    ラブドールwomen may see meeting these standards and “playing the game” as the only way to resolve their problem.It is unclear if this technique of “weaponizing beauty” will solve the problem of most women who face discrimination due to their looks.

  94. ダッチワイフ

    women who take on mothering roles to their partners often feel diminished sexual desirA recent study examined 675 Israeli men and women who had been in monogamous relationships for at least one year.オナホ 新作Most (~80) were married and living with their partners.

  109. wobbly life

    Explore a vibrant sandbox world in Wobbly Life wobbly life, where players deem on sundry jobs and activities. The conduit target is to earn well-to-do and customize your emblem and domicile, creating a corresponding exactly undertaking

  110. Stevebon

    Центр сертификации https://www.rospromtest.ru осуществляет деятельность по содействию в подтверждении соответствия продукции и услуг требованиям нормативных документов, технических регламентов Таможенного союза, и сертификации ISO. Мы оказываем полный комплекс услуг в сфере сертификации.

  118. ダッチワイフ エロ

    女性 用 ラブドールDo you have an underlying depression or anxiety problem tha when it flares up on a bad day,automatically causes your brain to play those old tapes? Or are you depressed and anxious because you can’t put these thoughts about the past to rest?This can be difficult to sort out.

  146. Bmwportal.lv

    Right here is the right webpage for everyone who really wants to find
    out about this topic. You understand so much its almost hard to argue with you (not that I actually would
    want to…HaHa). You certainly put a new spin on a subject which has been written about for years.
    Wonderful stuff, just wonderful!

    Also visit my blog :: Bmwportal.lv

  150. pech_eapl

    Выберите идеальную печь-камин для вашего дома, Купите печь-камин и создайте уют в доме, советы по выбору, советы по подбору, где найти лучшую печь-камин, основные моменты при выборе, Купите печь-камин и создайте уютную атмосферу в доме, что учитывать при выборе печки-камина, где найти лучшую модель
    Печь-камин для отопления дома https://dom-35.ru/ .

  156. kompoziciy_xtSl

    Идеальная композиция из цветов для вашего дома, советы по подбору.
    5 прекрасных идей для садовых композиций из цветов, и заставят соседей восхищаться.
    Как сделать необычный подарок из цветов, сделают ваш подарок по-настоящему запоминающимся.
    Как выбрать идеальный букет для невесты, и заставят всех гостей восхищаться.
    Уникальные идеи для оформления цветочных композиций на праздник, которые заставят всех гостей восхищаться.
    Секреты создания стильных композиций из живых цветов, и создадут атмосферу гармонии и уюта.
    Топ-15 вариантов цветочных композиций для офиса, и повысят продуктивность и настроение сотрудников.
    Очаровательные решения для садовых композиций, и создадут атмосферу праздника на природе.
    искусство составления букетов https://101-po3a.ru/ .

  159. dymohody_xlEa

    Изготовление дымоходов для бани в Нижнем Новгороде, экономно и эффективно.
    Как выбрать исполнителя на установку дымоходов для бани в Нижнем Новгороде, гарантии качества работы.
    Какие материалы лучше всего подходят для дымоходов в Нижнем Новгороде, рекомендации по выбору.
    Дымоходы для бани в Нижнем Новгороде: какие ошибки избегать, экспертное мнение.
    Секреты долговечности дымоходов для бани в Нижнем Новгороде, экспертные советы.
    Выбор оптимального типа дымоходов для бани в Нижнем Новгороде, подбор идеального варианта.
    дымоход для банной печи купить дымоход для банной печи купить .

  160. chto_vtOl

    Роза – один из самых популярных цветов в мире, прекрасное растение, воспеваемое многими поэтами и художниками.
    Отличия между темной и светлой розой, как ухаживать за розами в саду.
    Значение розы в разных культурах, роза в религии и мифологии.
    Что означает подарок в виде розы, почему роза считается королевой цветов.
    Какие свойства и лечебные качества у роз, роскошные сорта роз для вашего сада.
    описание розы цветка https://roslina.ru/ .

  161. kotel_ruot

    Выбор котла для частного дома | Какой котел для отопления дома выбрать | Купить котел для отопления: выгодное предложение | Какой котел для отопления частного дома лучше выбрать | Секреты установки котла для отопления | Рейтинг котлов для отопления | Выбор магазина для покупки котла для отопления | Лучшие котлы для отопления: какой выбрать? | Советы по экономии на отоплении | Лучшие цены на котлы для отопления дома
    купить котел отопления в частный дом https://sauna-manzana.ru/ .

  162. stu.wenhou.Site

    Howdy! This post could not be written any
    better! Reading this post reminds me of my old room
    mate! He always kept talking about this. I will forward this
    write-up to him. Fairly certain he will have a good read.
    Thank you for sharing!

    my page: stu.wenhou.Site

  165. dymohody_gkEa

    Изготовление дымоходов для бани в Нижнем Новгороде, экономно и эффективно.
    Как выбрать исполнителя на установку дымоходов для бани в Нижнем Новгороде, отзывы и рекомендации.
    Сравнение различных видов дымоходов для бани в Нижнем Новгороде, советы от экспертов.
    Дымоходы для бани в Нижнем Новгороде: какие ошибки избегать, основные критерии.
    Секреты долговечности дымоходов для бани в Нижнем Новгороде, рекомендации по уходу.
    Преимущества и недостатки распространенных дымоходов для бани в Нижнем Новгороде, советы по выбору.
    дымоход для бани из нержавейки купить https://forum-bani.ru/ .

  166. chto_wuOl

    Роза – один из самых популярных цветов в мире, знаменитый цветок с многовековой историей.
    Как выбрать самую красивую розу, секреты выращивания роз в домашних условиях.
    Как роза влияет на человека и его эмоции, приметы и предсказания связанные с розой.
    Роза как идеальный подарок для любого случая, какие чувства вызывает роза у людей.
    Розы в архитектуре и дизайне интерьера, роскошные сорта роз для вашего сада.
    про розы про розы .

  167. kotel_xtot

    Лучшие котлы для отопления частного дома | Какой котел для отопления дома выбрать | Купить котел для отопления: выгодное предложение | Эффективный выбор котла для отопления частного дома | Как правильно подключить котел для отопления | Топ популярных моделей котлов для отопления | Где купить котел для отопления частного дома с доставкой | Какие котлы для отопления частного дома лучше | Секреты экономичного отопления частного дома | Котел для отопления частного дома: как выбрать недорого?
    отопительные котлы купить отопительные котлы купить .

  168. arenda_yvOa

    Аренда экскаватора погрузчика: выгодное предложение для строительства, заказывайте прямо сейчас.
    Экскаватор погрузчик на прокат: надежное решение для стройки, арендуйте прямо сейчас.
    Аренда экскаватора погрузчика: оптимальное решение для строительных работ, арендуйте прямо сейчас.
    Экскаватор погрузчик на прокат: удобство и профессионализм, воспользуйтесь услугой уже сегодня.
    Аренда экскаватора погрузчика: быстро и качественно, арендуйте прямо сейчас.
    Экскаватор погрузчик в аренду: выбор профессионалов, заказывайте прямо сейчас.
    аренда экскаватора погрузчика https://arenda-jekskavatora-pogruzchika-197.ru/ .

  169. arenda_ntOa

    Аренда экскаватора погрузчика: удобно и выгодно, заказывайте прямо сейчас.
    Экскаватор погрузчик в аренду: быстро и качественно, арендуйте прямо сейчас.
    Аренда экскаватора погрузчика: выбор профессионалов, арендуйте прямо сейчас.
    Экскаватор погрузчик в аренду: выгодное предложение для строительства, воспользуйтесь услугой уже сегодня.
    Экскаватор погрузчик в аренду: безопасность и удобство на вашем объекте, арендуйте прямо сейчас.
    Экскаватор погрузчик на прокат: оптимальное решение для строительных работ, воспользуйтесь услугой уже сегодня.
    аренда погрузчика цена https://arenda-jekskavatora-pogruzchika-197.ru/ .

  173. peretyazhka-mebeli-minsk hiOi

    Преимущества перетяжки мягкой мебели, которые вы должны знать, Какие стили актуальны в обновлении диванов, Как быстро и недорого освежить диван без перетяжки, Почему стоит обратиться к профессионалам для перетяжки дивана, как избежать ошибок при выборе исполнителя, для создания уютного уголка в доме
    перетяжка мягкой мебели перетяжка мягкой мебели .

  175. peretyazhka-mebeli-v-minske cuSi

    Уникальная возможность обновить вашу мебель, наши услуги.
    Как превратить старое в новое, сделаем вашу мебель снова привлекательной.
    Профессиональное оформление вашей мебели, качественные материалы.
    Новый облик для старой мебели, дарим вторую жизнь вашему дому.
    Мастера перетяжки мебели в деле, поможем воплотить ваши идеи.
    перетяжка мягкой мебели перетяжка мягкой мебели .

  177. справочник кемерово

    Thanks for ones marvelous posting! I truly enjoyed reading it,
    you may be a great author. I will make sure to bookmark your
    blog and will come back in the foreseeable future.

    I want to encourage continue your great job, have a nice afternoon!

  180. 信越 配当

    Principles. In some cases, before retaining an investment manager, institutional investors will inquire
    as to whether the manager is a signatory. Karen McLeod
    is an Authorised Representative (No. 242000) of Ethical Investment Advisers
    (AFSL 276544). We provide investment advice for ethically-minded and
    socially-conscious investors that are seeking competitive returns.
    Financial management courses are also relevant for employees across other departments.

  184. ラブドール 高級

    ドールを染色されないために、色あせしやすい、または染色が悪い服の着用は避けてください。セックス ロボット染められたドールの洗浄は難しいので、ご注意ください ?色あせを防ぐために、服はドールを着せる前に洗濯するのがお勧めです。

  200. kompoziciy_zrSl

    Как создать гармоничное сочетание цветов в интерьере, советы по подбору.
    5 прекрасных идей для садовых композиций из цветов, и заставят соседей восхищаться.
    Секреты создания элегантных букетов из цветов, и удивят своим необычным сочетанием.
    Как выбрать идеальный букет для невесты, и сделают вашу свадьбу по-настоящему волшебной.
    Уникальные идеи для оформления цветочных композиций на праздник, и станут ярким акцентом вашего праздника.
    Секреты создания стильных композиций из живых цветов, и создадут атмосферу гармонии и уюта.
    Топ-15 вариантов цветочных композиций для офиса, которые позволят сделать рабочее пространство более приятным.
    Очаровательные решения для садовых композиций, и станут гордостью вашего сада.
    флористика для начинающих пошагово сборка букетов флористика для начинающих пошагово сборка букетов .

  201. arenda_teOa

    Аренда экскаватора погрузчика: выгодное предложение для строительства, заказывайте прямо сейчас.
    Экскаватор погрузчик на прокат: надежное решение для стройки, арендуйте прямо сейчас.
    Аренда экскаватора погрузчика: выбор профессионалов, воспользуйтесь услугой уже сегодня.
    Аренда экскаватора погрузчика: лучший выбор для строительных работ, бронируйте аренду сейчас.
    Экскаватор погрузчик в аренду: безопасность и удобство на вашем объекте, воспользуйтесь услугой уже сегодня.
    Экскаватор погрузчик в аренду: выбор профессионалов, воспользуйтесь услугой уже сегодня.
    нанять экскаватор погрузчик https://arenda-jekskavatora-pogruzchika-197.ru/ .

  206. dymohody_thEa

    Установка дымоходов для бани в Нижнем Новгороде, экономно и эффективно.
    Лучшие мастера по монтажу дымоходов в Нижнем Новгороде, гарантии качества работы.
    Какие материалы лучше всего подходят для дымоходов в Нижнем Новгороде, подбор оптимального варианта.
    Что нужно знать перед установкой дымоходов для бани в Нижнем Новгороде, экспертное мнение.
    Простые способы поддержания работы дымоходов для бани в Нижнем Новгороде, экспертные советы.
    Выбор оптимального типа дымоходов для бани в Нижнем Новгороде, подбор идеального варианта.
    дымоход для бани купить в нижнем новгороде дымоход для бани купить в нижнем новгороде .

  208. chto_kkOl

    Что такое роза и почему она так ценится, знаменитый цветок с многовековой историей.
    Отличия между темной и светлой розой, секреты выращивания роз в домашних условиях.
    Роза как символ любви и страсти, приметы и предсказания связанные с розой.
    Розовый цвет как символ нежности и красоты, почему розы так популярны на свадьбах.
    Какие свойства и лечебные качества у роз, роскошные сорта роз для вашего сада.
    растение роза растение роза .

  209. kotel_niot

    Выбор котла для частного дома | Советы по выбору котла для отопления | Купить котел для отопления: выгодное предложение | Какой котел для отопления частного дома лучше выбрать | Как правильно подключить котел для отопления | Топ популярных моделей котлов для отопления | Гарантированный выбор котла для отопления | Лучшие котлы для отопления: какой выбрать? | Секреты экономичного отопления частного дома | Котел для отопления частного дома: как выбрать недорого?
    купить котел для отопления магазин купить котел для отопления магазин .

  210. 토토놀이터

    Good day! I could have sworn I’ve been to this blog before but after checking through some of the post I realized it’s new to me.
    Anyhow, I’m definitely glad I found it and I’ll be book-marking and
    checking back frequently!

  213. indiatextile.biz

    I like what you guys tend to be up too. Such
    clever work and exposure! Keep up the good works
    guys I’ve incorporated you guys to blogroll.

  215. arenda_sdEa

    Аренда экскаватора погрузчика в Москве, по выгодным ценам.
    Лучшие предложения по аренде техники в столице, под заказ.
    Где арендовать экскаватор-погрузчик в Москве?, готовы к сотрудничеству.
    Быстро и удобно, под заказ в Москве.
    Оптимальные условия аренды спецтехники, выбирайте качество.
    Основные преимущества аренды экипировки, в Москве.
    Гибкие условия проката техники, заказывайте доступную технику.
    Аренда экскаватора-погрузчика в Москве: важная информация, в Москве.
    Выбор оптимального проката техники, в Москве.
    Выбор качественного проката, в Москве.
    Как сэкономить на строительстве, в нашем сервисе.
    Как выбрать экскаватор-погрузчик для аренды в Москве?, у нас в сервисе.
    Выбор качественного оборудования для строительства, в столице.
    Вопросы и ответы о прокате, в столице.
    Выбор техники для строительства, в Москве.
    Срочная аренда экскаватора-погрузчика в Москве: где заказать?, в столице.
    Где арендовать экскаватор-погрузчик в Москве с выгодой?, у нас в сервисе.
    Оптимальные условия аренды, в столице.
    взять в аренду экскаватор погрузчик https://arenda-ekskavatora-pogruzchika197.ru/ .

  217. kompoziciy_igSl

    Идеальная композиция из цветов для вашего дома, как выбрать идеальную комбинацию.
    5 прекрасных идей для садовых композиций из цветов, и заставят соседей восхищаться.
    Секреты создания элегантных букетов из цветов, и удивят своим необычным сочетанием.
    Секреты оформления свадебного зала цветами, и заставят всех гостей восхищаться.
    Идеи сезонных композиций для вашего праздника, и создадут атмосферу уюта и радости.
    Как сделать необычный декор для вашего дома, которые преобразят ваш дом и наполнят его красками.
    Как украсить рабочее место цветами, и повысят продуктивность и настроение сотрудников.
    Очаровательные решения для садовых композиций, и создадут атмосферу праздника на природе.
    как собрать букет из цветов как собрать букет из цветов .

  218. arenda_chpi

    Оптимальный вариант аренды автобуса в СПб|Передвигайтесь по Санкт-Петербургу в удобстве и безопасности|Найдите идеальный автобус для вашей поездки по СПб|Приятные цены на аренду автобусов в Санкт-Петербурге|Организуйте комфортную доставку гостей с помощью аренды автобуса в Санкт-Петербурге|Забронируйте автобус в Санкт-Петербурге всего в несколько кликов|Насладитесь туристическими достопримечательностями Санкт-Петербурга на комфортабельном автобусе|Обеспечьте комфортную поездку для сотрудников на корпоративе с помощью аренды автобуса в Санкт-Петербурге|Устроить феерическую свадьбу с комфортной доставкой гостей поможет аренда автобуса в Санкт-Петербурге|Опытные водители и комфортные автобусы в аренде в СПб|Современные технологии и удобства наших автобусов в аренде в СПб|Интересные экскурсии и поездки на арендованном автобусе в СПб|Экономьте на поездках по Санкт-Петербургу с нашими специальными предложениями на аренду автобуса|Адаптируйте маршрут поездки по Санкт-Петербургу под свои потребности с помощью аренды автобуса|Мы всегда на связи, чтобы помочь вам с арендой автобуса в Санкт-Петербурге в любое время суток|Комфортабельные поездки на арендованных автобусах в СПб|Выбирайте между различными тарифами на аренду автобуса в Санкт-Петербурге в зависимости от ваших потребностей|Доверьте свои поездки по Санкт-Петербургу профессионалам со всеми необходимыми документами на арендованные автобусы|Уникальные условия для аренды автобуса в СПб с нашей компанией|Быстрая и удобная аренда автобуса в СПб
    аренда автобуса https://arenda-avtobusa-178.ru/ .

  221. arenda_gjOa

    Аренда экскаватора погрузчика: выгодное предложение для строительства, воспользуйтесь услугой уже сегодня.
    Экскаватор погрузчик на прокат: надежное решение для стройки, закажите сейчас.
    Аренда экскаватора погрузчика: выбор профессионалов, закажите прокат сейчас.
    Экскаватор погрузчик в аренду: выгодное предложение для строительства, заказывайте прямо сейчас.
    Аренда экскаватора погрузчика: надежное решение для строительства, закажите прокат сегодня.
    Экскаватор погрузчик на прокат: оптимальное решение для строительных работ, воспользуйтесь услугой уже сегодня.
    арендовать экскаватор погрузчик в москве https://arenda-jekskavatora-pogruzchika-197.ru/ .

  223. arenda_xppl

    Выгодное предложение по аренде трактора,
    Опытные водители и надежная техника на аренду,
    Удобная аренда трактора с доставкой,
    Аренда трактора для сельского хозяйства,
    Лучшие цены на аренду тракторов в вашем городе,
    Специализированная аренда тракторов для строительства,
    Аренда трактора на длительный срок,
    Профессиональные водители для аренды трактора,
    Аренда трактора под ключ
    трактор экскаватор аренда https://arenda-traktora77.ru/ .

  224. arenda_qist

    Секреты выбора идеального трактора в аренду|Лучшие предложения по аренде тракторов|Сравнение затрат на аренду и покупку трактора|Шаг за шагом инструкция по аренде трактора через интернет|Объективное сравнение преимуществ и недостатков аренды трактора|Как экономить на аренде трактора|Что необходимо учесть, чтобы избежать ошибок при аренде трактора|Частные лица и аренда тракторов: реальность и перспективы|Трактор на выезд: прокат машин в передвижном формате|Аренда мини-трактора: компактные и удобные решения|Преимущества сотрудничества с проверенными компаниями по аренде тракторов|Как найти выгодное предложение по аренде трактора на один день|Как выбрать компанию с квалифицированными водителями для аренды тракторов|Секреты успешного выбора трактора в аренду|Тракторы для аренды: какие модели предпочтительнее|Аренда тракторов по городу: удобство и доступность|Критерии выбора арендодателя тракторов|Аренда трактора на свадьбу: необычный способ оформления праздника|Тракторы для аренды: как выбрать оптимальный вариант|Бетономешалка в аренду: дополнительное оборудование для трактора|Где найти идеальный трактор для аренды|Советы по подбору трактора для строительных работ|Советы по выбору трактора для работы на ферме|Что нужно знать перед заключением договора на аренду спецтехники|Как выбрать компанию с быстрой и надежной доставкой трактора|Лучшие предложения по аренде тракторов для дач
    аренда трактора https://arenda-traktora-skovshom.ru/ .

  226. evakuator_joPl

    Лучший эвакуатор в Москве, качественное обслуживание|Только лучшие эвакуаторы в Москве, 24/7|Экстренная эвакуация в Москве: быстро и качественно|Специализированный эвакуатор в Москве|Быстрый эвакуатор для легковых авто в Москве|Эвакуатор Москва: быстро и без лишних хлопот|Безопасная эвакуация авто в Москве|Эвакуатор Москва: широкий спектр услуг|Эвакуатор в Москве: решение проблем с автомобилем|Экстренная эвакуация автомобилей: быстро и качественно|Эвакуатор Москва: ваш надежный помощник на дороге|Эвакуатор Москва: опытные специалисты|Эвакуатор Москва: всегда на связи|Эвакуация легковых автомобилей в Москве: быстро и качественно|Эвакуация автомобилей в Москве: надежно и оперативно|Эвакуатор Москва: ваша безопасность на первом месте|Эвакуация мотоциклов в Москве: быстро и качественно
    эвакуатор недорого https://ewacuator-moscow.ru/ .

  227. Finding the best movers: short guide

    I’m really impressed with your writing skills and also with the layout
    on your blog. Is this a paid theme or did you customize it yourself?
    Anyway keep up the excellent quality writing,
    it’s rare to see a nice blog like this one today.

  229. dymohody_amEa

    Установка дымоходов для бани в Нижнем Новгороде, экономно и эффективно.
    Лучшие мастера по монтажу дымоходов в Нижнем Новгороде, сравнение цен и услуг.
    Какие материалы лучше всего подходят для дымоходов в Нижнем Новгороде, подбор оптимального варианта.
    Что нужно знать перед установкой дымоходов для бани в Нижнем Новгороде, основные критерии.
    Секреты долговечности дымоходов для бани в Нижнем Новгороде, рекомендации по уходу.
    Преимущества и недостатки распространенных дымоходов для бани в Нижнем Новгороде, сравнение характеристик.
    купить дымоход для бани купить дымоход для бани .

  233. kuhnya_hmmn

    Лучшие кухни на заказ в Москве, воплотим ваши желания в реальность.
    Закажите стильную кухню на заказ в Москве прямо сейчас!.
    Закажите кухню своей мечты прямо сейчас.
    Ищите кухню на заказ в Москве? Мы вам поможем!.
    Лучшие кухни на заказ только в Москве.
    Выбирайте лучшие кухни на заказ в Москве у нас.
    Создайте уют в своем доме с кухней на заказ.
    Доверьте создание кухни своей мечты опытному мастеру.
    Уникальные решения для вашей кухни только у нас.
    кухни на заказ от производителя https://kuhny-na-zakaz77.ru/ .

  236. kuhnya_jxPt

    Идеальная кухня на заказ для вашего дома, у нас.
    Кухонная мебель на заказ, которая станет сердцем вашего дома, воплотим ваши фантазии в реальность.
    Уникальные решения для вашей кухни на заказ, только у нас.
    Воплотим в жизнь ваши самые смелые кулинарные фантазии, воплотите свои мечты в реальность.
    Кухня на заказ, которая станет идеальным местом для семейных посиделок, получите неповторимый дизайн.
    Уникальный дизайн, который отражает вашу личность, наслаждайтесь уютом и комфортом.
    Уникальная кухня на заказ, которая станет сердцем вашего дома, покажите свой вкус.
    Индивидуальный дизайн, который подчеркнет вашу индивидуальность, с любовью к деталям.
    кухни под заказ https://kuhny-na-zakaz-msk.ru/ .

  237. arenda_uasi

    Лучший выбор для аренды автобуса в Санкт-Петербурге, шаттл для трансфера.
    Доступные цены на аренду автобуса в СПб, выбирайте нашими услугами.
    Лучшие автобусы для аренды в СПб, путешествуйте с комфортом.
    Аренда автобуса для торжества в Санкт-Петербурге, с легкостью.
    Трансфер из аэропорта с арендованным автобусом в СПб, быстро и безопасно.
    Организация корпоратива с арендованным автобусом в Санкт-Петербурге, оригинально и ярко.
    Экскурсия на комфортабельном автобусе в Санкт-Петербурге, ярко и насыщенно.
    Аренда автобуса для школьной поездки в Санкт-Петербурге, весело и обучающе.
    Транспортировка гостей на свадьбу в Санкт-Петербурге на арендованном автобусе, красиво и романтично.
    Советы по выбору автобуса для проката в Санкт-Петербурге, полезные советы от наших экспертов.
    Способы сэкономить на аренде автобуса в Санкт-Петербурге, без ущерба качеству.
    Полный список услуг при аренде автобуса в СПб, подробно изучите перед заказом.
    Преимущества аренды автобуса с шофером в Санкт-Петербурге, честный рейтинг.
    Стоимость аренды автобуса в СПб – на что обратить внимание, подробное рассмотрение.
    Прокат мини-автобусов для узкого круга пассажиров в СПб, компактно и удобно.
    Трансфер на фестиваль в СПб на арендованном автобусе, под музыку и веселье.
    Вечеринка на автобусе в СПб
    аренда автобуса с водителем https://arenda-avtobusa-v-spb.ru/ .

  238. Local movers in New York: solving problems

    It’s the best time to make some plans for the longer
    term and it is time to be happy. I’ve learn this post and if I could I
    wish to recommend you few fascinating things or advice. Perhaps you can write next articles relating to
    this article. I desire to read even more things about it!

  239. Finding best local movers

    Have you ever considered about adding a little bit more than just your
    articles? I mean, what you say is valuable and everything.
    Nevertheless just imagine if you added some great pictures or videos to give
    your posts more, “pop”! Your content is excellent but with images and videos, this website could definitely be
    one of the best in its niche. Good blog!

  241. chto_dfOl

    Что такое роза и почему она так ценится, прекрасное растение, воспеваемое многими поэтами и художниками.
    Отличия между темной и светлой розой, как ухаживать за розами в саду.
    Как роза влияет на человека и его эмоции, тайны и загадки розы.
    Что означает подарок в виде розы, какие чувства вызывает роза у людей.
    Роза в мифах и легендах разных народов, секреты сбора и хранения розовых лепестков.
    роза это что роза это что .

  243. kotel_cmot

    Лучшие котлы для отопления частного дома | Отопление дома: как выбрать котел | Где недорого купить котел для отопления | Эффективный выбор котла для отопления частного дома | Секреты установки котла для отопления | Топ популярных моделей котлов для отопления | Выбор магазина для покупки котла для отопления | Какие котлы для отопления частного дома лучше | Советы по экономии на отоплении | Лучшие цены на котлы для отопления дома
    купить котел отопления в частный дом https://sauna-manzana.ru/ .

  249. Gratisafhalen.Be

    Hiya! I know this is kinda off topic however , I’d figured I’d ask.
    Would you be interested in exchanging links or maybe guest authoring a blog post or vice-versa?
    My site covers a lot of the same subjects as yours and I feel we
    could greatly benefit from each other. If you might be interested feel free to shoot me an e-mail.

    I look forward to hearing from you! Great blog by the way! https://gratisafhalen.be/author/sabrinafuer/

  276. Move service in Brooklyn

    You can certainly see your skills in the work you write.
    The arena hopes for more passionate writers like you who aren’t afraid to mention how they believe.
    All the time go after your heart.

  279. газовый generac

    Сравнение генераторов Generac: как выбрать лучший вариант?, советы по выбору генератора Generac.
    Почему стоит выбрать генератор Generac?, анализ генератора Generac.
    Генератор Generac для надежного источника энергии, рекомендации.
    Новейшие технологии в генераторах Generac, рассмотрение функционала.
    Преимущества использования генератора Generac, обзор.
    Как выбрать генератор Generac для дома, советы эксперта.
    Генератор Generac: лучший источник резервного питания, плюсы использования.
    Генератор Generac: инновационные решения для вашего дома, подробный обзор.
    Генератор Generac для обеспечения непрерывного электроснабжения, особенности использования.
    Как выбрать генератор Generac для вашего дома?, особенности.
    generac купить [url=https://generac-generatory1.ru/]https://generac-generatory1.ru/[/url] .

  283. generac газовый генератор купить

    Как не ошибиться при покупке генератора Generac, как выбрать генератора Generac.
    Генератор Generac: особенности и преимущества, анализ генератора Generac.
    Как получить бесперебойное электроснабжение с помощью генератора Generac, советы по использованию.
    Новейшие технологии в генераторах Generac, рассмотрение функционала.
    Преимущества использования генератора Generac, подробный анализ.
    Как правильно выбрать генератор Generac для своих нужд?, подробный гайд.
    Надежный источник электропитания: генераторы Generac, рассмотрение преимуществ.
    Как выбрать генератор Generac для эффективного резервного энергоснабжения, подробный обзор.
    Выбор генератора Generac: на что обратить внимание?, советы по установке.
    Как выбрать генератор Generac для вашего дома?, подбор модели.
    generac 6520 купить generac 6520 купить .

  285. generac цена

    Сравнение генераторов Generac: как выбрать лучший вариант?, советы по выбору генератора Generac.
    Почему стоит выбрать генератор Generac?, подробный обзор генератора Generac.
    Генератор Generac для надежного источника энергии, рекомендации.
    Настоящее качество: генераторы Generac, рассмотрение функционала.
    Генератор Generac: надежность и долговечность, обзор.
    Как выбрать генератор Generac для дома, советы эксперта.
    Энергия без перебоев: генераторы Generac для дома, характеристики.
    Секреты правильного выбора генератора Generac, анализ функционала.
    Генератор Generac для обеспечения непрерывного электроснабжения, рекомендации.
    Обеспечение надежного энергоснабжения с помощью генератора Generac, подбор модели.
    generac газовый generac газовый .

  291. 中国 エロ

    一言にロリータ系のラブドールと言ってもオナドール、様々なタイプが販売されています ?今回はロリータ系ラブドールのそれぞれの違いを比較して解説したいと思います。

  300. HRA - financial compensation for moving to a new place of residence

    What i do not realize is actually how you’re
    now not really a lot more neatly-favored than you might be right now.

    You’re so intelligent. You know thus considerably in the case of this topic, made me for
    my part imagine it from so many various angles.
    Its like men and women aren’t involved until it is one thing to do with Girl gaga!
    Your own stuffs nice. All the time deal with it up!

  304. faded fruits

    Great post. I was checking constantly this blog and I’m impressed!
    Extremely helpful info specially the last part 🙂 I care for such
    information much. I was looking for this particular information for a very long time.
    Thank you and best of luck.

  309. click here

    This design is steller! You definitely know how to keep a reader amused.

    Between your wit and your videos, I was almost moved to
    start my own blog (well, almost…HaHa!) Fantastic job.
    I really enjoyed what you had to say, and more than that, how you presented it.
    Too cool!

  311. ラブドールエロ

    等身大ドールの楽しみ方は様々。挿入する気持ち良さは、えろ 人形リアルな女性と交わっている感じをしっかり表現してくれます。ボディの再現性も素晴らしいです。

  313. 手机 代理ip

    Great blog you’ve got here.. It’s hard to find high quality writing like yours nowadays.

    I honestly appreciate individuals like you! Take
    care!!

  317. ダッチワイフ エロ

    ベストセラー：当社の満足したお客様の心と欲望を捉えたダッチワイフが見つかる売れ筋ランキングカテゴリーの魅力を体験してください ラブドール エロこれらのコンパニオンは、その卓越した品質、リアリズム、そしてあなたの幻想を実現する能力によってトップの地位を獲得しました。

  318. تعمیرگاه جک s3

    Please let me know if you’re looking for a article writer for your weblog.
    You have some really good posts and I feel I would be a good asset.
    If you ever want to take some of the load off, I’d really like
    to write some content for your blog in exchange for a link back
    to mine. Please shoot me an e-mail if interested. Kudos!

  324. British News Today

    whoah this blog is fantastic i love reading your
    articles. Keep up the great work! You realize, lots
    of individuals are looking round for this info, you could aid them greatly.

  325. phising

    Hello, i think that i noticed you visited my web site so
    i got here to go back the prefer?.I am attempting to find things to
    enhance my website!I guess its good enough to use a few of
    your ideas!!

  327. phising

    Thanks a bunch for sharing this with all folks you really know what you are talking approximately!
    Bookmarked. Kindly additionally discuss with my site =).
    We may have a hyperlink exchange contract among us

  329. mega888 apk

    This is really attention-grabbing, You are an overly skilled blogger.

    I have joined your rss feed and stay up for in the hunt for
    more of your excellent post. Additionally, I’ve
    shared your website in my social networks

  331. Marty

    Very quickly this website will be famous amid all blogging and site-building visitors,
    due to it’s good articles

  332. JUAL OBAT PEMBESAR PENIS

    When someone writes an paragraph he/she keeps the idea of a user in his/her
    brain that how a user can know it. Therefore that’s why this piece of writing is perfect.
    Thanks!

  333. tiger168

    Hello everyone, it’s my first visit at this site, and article is in fact
    fruitful in favor of me, keep up posting these articles.

  334. How to find cheap movers in NYC

    Have you ever considered about adding a little bit more
    than just your articles? I mean, what you say is important and everything.
    Nevertheless just imagine if you added some great photos or video clips to give your
    posts more, “pop”! Your content is excellent but with pics and video clips, this
    blog could certainly be one of the very best in its field.
    Excellent blog!

  337. serena wood porn

    I have been browsing online more than 2 hours today, yet I
    never found any interesting article like yours. It is pretty worth enough
    for me. In my view, if all site owners and bloggers made good content as you did, the internet will be much more useful than ever
    before.

  339. three-7.com

    Hi! I could have sworn I’ve been to this website before
    but after browsing through some of the post I realized it’s new to me.
    Anyhow, I’m definitely happy I found it and I’ll be book-marking and checking back often!

  340. XNXX.COM

    First of all I would like to say wonderful blog!
    I had a quick question which I’d like to ask if
    you do not mind. I was curious to know how you center yourself and clear your head before writing.
    I have had a tough time clearing my thoughts in getting my thoughts
    out there. I do enjoy writing but it just seems like the first 10 to 15 minutes are generally wasted just trying
    to figure out how to begin. Any suggestions or hints? Thanks!

  341. jazdy

    It’s fantastic that you are getting ideas from this post
    as well as from our dialogue made at this place.

  342. slot online

    I’ve been browsing online more than three hours today, yet I never
    found any interesting article like yours. It’s pretty worth
    enough for me. Personally, if all web owners and bloggers made good content as you did, the
    web will be a lot more useful than ever before.

  346. Times of Netherland

    Hello! I simply would like to give you a huge thumbs up for your great information you have got here on this post.
    I will be returning to your blog for more soon.

  347. arenda_rjsi

    Лучший выбор для аренды автобуса в Санкт-Петербурге, шаттл для трансфера.
    Оптимальные цены на аренду автобуса в СПб, делайте выбор нашими услугами.
    Лучшие автобусы для аренды в СПб, езжайте с комфортом.
    Аренда автобуса для торжества в Санкт-Петербурге, с легкостью.
    Трансфер из аэропорта с арендованным автобусом в СПб, пунктуально и качественно.
    Аренда автобуса для корпоративного мероприятия в СПб, оригинально и ярко.
    Экскурсия на комфортабельном автобусе в Санкт-Петербурге, познавательно и интересно.
    Организуйте школьную экскурсию с арендованным автобусом в СПб, безопасно и познавательно.
    Транспортировка гостей на свадьбу в Санкт-Петербурге на арендованном автобусе, стильно и празднично.
    Как выбрать автобус для аренды в СПб, важные рекомендации от наших экспертов.
    Способы сэкономить на аренде автобуса в Санкт-Петербурге, со всеми выгодами.
    Что входит в стоимость аренды автобуса в Санкт-Петербурге, узнайте перед заказом.
    Недостатки аренды автобуса с водителем в СПб, объективный обзор.
    Сравнение стоимости аренды автобуса в СПб: как выбрать выгодное предложение, важные аспекты.
    Прокат мини-автобусов для узкого круга пассажиров в СПб, компактно и удобно.
    Аренда транспорта для фестиваля в Санкт-Петербурге, безопасно и комфортно.
    Вечеринка на автобусе в СПб
    аренда автобуса с водителем спб https://arenda-avtobusa-v-spb.ru/ .

  349. arenda_ukEa

    Прокат техники для строительства в столице, с гарантией качества.
    Экскаватор-погрузчик на любой вкус и бюджет, для вашего удобства.
    Выбор прокатных услуг в Москве, ждет вас.
    Аренда экскаватора-погрузчика – это просто, в столице.
    Оптимальные условия аренды спецтехники, с нами выгодно.
    Как выбрать технику для строительства, в Москве.
    Гибкие условия проката техники, заказывайте доступную технику.
    Аренда экскаватора-погрузчика в Москве: важная информация, под заказ у нас.
    Выбор оптимального проката техники, у нас в сервисе.
    Куда обратиться за арендой техники, в столице.
    Плюсы аренды экскаватора-погрузчика в Москве, в Москве.
    Советы по оформлению проката, в столице.
    Выбор качественного оборудования для строительства, у нас в сервисе.
    Вопросы и ответы о прокате, в Москве.
    Экскаватор-погрузчик в аренду в Москве: оптимальное решение, у нас в сервисе.
    Срочная аренда экскаватора-погрузчика в Москве: где заказать?, в столице.
    Лучшие предложения по аренде, в столице.
    Выбор экскаватора-погрузчика в Москве: где найти лучшее предложение?, у нас в сервисе.
    аренда трактора с ковшом цена https://arenda-ekskavatora-pogruzchika197.ru/ .

  351. پوشش ضد حریق

    Appreciating the time and effort you put into your website and in depth information you provide.
    It’s good to come across a blog every once in a
    while that isn’t the same unwanted rehashed
    material. Fantastic read! I’ve saved your site and I’m including
    your RSS feeds to my Google account.

  353. sexy porn xx

    Thanks for your marvelous posting! I seriously enjoyed reading it, you
    will be a great author. I will ensure that I bookmark your blog and will eventually come back
    later in life. I want to encourage you to continue your great writing, have a
    nice morning!

  356. arenda_yypi

    Оптимальный вариант аренды автобуса в СПб|Аренда автобуса в СПб – залог комфортной поездки|Найдите идеальный автобус для вашей поездки по СПб|Найдите лучшие предложения по аренде автобусов в Санкт-Петербурге|Аренда автобуса на любое мероприятие в СПб|Легко и быстро арендовать автобус в СПб|Отправляйтесь в увлекательное путешествие на арендованном автобусе|Обеспечьте комфортную поездку для сотрудников на корпоративе с помощью аренды автобуса в Санкт-Петербурге|Устроить феерическую свадьбу с комфортной доставкой гостей поможет аренда автобуса в Санкт-Петербурге|Доверьте свое безопасное перемещение профессионалам с опытом на арендованных автобусах в Санкт-Петербурге|Современные технологии и удобства наших автобусов в аренде в СПб|Путешествуйте вместе с нами на разнообразных маршрутах по Санкт-Петербургу|Экономьте на поездках по Санкт-Петербургу с нашими специальными предложениями на аренду автобуса|Удобство и гибкость в выборе маршрутов на арендованном автобусе в СПб|Надежная и оперативная поддержка для клиентов аренды автобусов в СПб|Почувствуйте настоящий комфорт в поездках по Санкт-Петербургу на наших автобусах в аренде|Выбирайте между различными тарифами на аренду автобуса в Санкт-Петербурге в зависимости от ваших потребностей|Доверьте свои поездки по Санкт-Петербургу профессионалам со всеми необходимыми документами на арендованные автобусы|Уникальные условия для аренды автобуса в СПб с нашей компанией|Быстрая и удобная аренда автобуса в СПб
    аренда автобуса с водителем спб https://arenda-avtobusa-178.ru/ .

  357. https://baloot-game.org/

    Hi there! This is kind of off topic but I need some advice from an established blog.
    Is it very difficult to set up your own blog? I’m not very techincal but I can figure things
    out pretty fast. I’m thinking about setting up my own but I’m not
    sure where to start. Do you have any tips or suggestions?
    Cheers

  358. پوشش ضد حریق

    Greetings! I’ve been reading your blog for a while now and finally got the courage to go ahead and give you
    a shout out from Houston Tx! Just wanted to tell you keep
    up the good job!

  361. پوشش ضد حریق

    Heya i’m for the first time here. I came across this board and I find
    It truly useful & it helped me out much.
    I hope to give something back and help others like you helped me.

  362. arenda_pjpl

    Экономьте время и деньги с арендой трактора,
    Безопасная аренда тракторов,
    Аренда трактора с оперативной доставкой,
    Профессиональные услуги по аренде тракторов для фермеров,
    Эксклюзивные предложения по аренде трактора,
    Качественные услуги аренды строительных тракторов,
    Гибкие условия аренды тракторов,
    Безопасная и надежная аренда тракторов с водителем,
    Выгодные условия аренды трактора
    аренда трактора с ковшом с водителем https://arenda-traktora77.ru/ .

  363. PuraVive buy

    It is appropriate time to make a few plans for the longer term and it is time to be happy.
    I have read this publish and if I may just I wish to counsel you few interesting issues or
    suggestions. Maybe you could write subsequent articles relating to this article.
    I desire to read even more issues about it!

  364. java burn return policy

    Thanks for one’s marvelous posting! I truly enjoyed reading it, you could be a great author.I will ensure that I bookmark your blog and definitely will come back very
    soon. I want to encourage you continue your great writing, have a
    nice holiday weekend!

  365. sportaza

    I really like what you guys are usually up too. This sort of clever work
    and reporting! Keep up the terrific works guys I’ve
    included you guys to my personal blogroll.

  366. پوشش ضد حریق

    Have you ever thought about adding a little bit more than just your articles?
    I mean, what you say is fundamental and everything.
    Nevertheless just imagine if you added some great images or
    videos to give your posts more, “pop”! Your content is excellent but with images and clips, this site could certainly be one of the
    best in its field. Great blog!

  367. پوشش ضد حریق

    I get pleasure from, result in I discovered just what I used
    to be taking a look for. You have ended my 4 day lengthy hunt!

    God Bless you man. Have a nice day. Bye

  369. SCATTER HITAM

    My family members all the time say that I am killing my time here at net, however I know I am
    getting familiarity everyday by reading such nice posts.

  370. پوشش ضد حریق

    You really make it appear so easy together with your presentation however I in finding this matter to be
    really something which I think I would by no means understand.
    It seems too complex and extremely huge for me. I’m looking ahead for your subsequent submit,
    I’ll try to get the hold of it!

  371. پوشش ضد حریق

    Hi there, i read your blog from time to time and i own a similar one and
    i was just curious if you get a lot of spam feedback? If so how do you stop it, any plugin or
    anything you can advise? I get so much lately it’s driving
    me crazy so any support is very much appreciated.

  372. پوشش ضد حریق

    I am not sure where you’re getting your information, but good topic.
    I needs to spend some time learning more or understanding more.
    Thanks for wonderful information I was looking for this info for my mission.

  373. Affordable local movers оf HRA

    I think everything published made a great deal of sense.

    However, consider this, suppose you added a
    little content? I mean, I don’t wish to tell you how to run your blog, however suppose you added a
    post title to possibly get a person’s attention? I mean Linear Regression T Test For Coefficients is kinda plain. You ought to
    peek at Yahoo’s home page and note how they create post headlines to grab viewers to click.
    You might try adding a video or a picture or two to get people interested
    about what you’ve written. In my opinion, it might bring
    your posts a little bit more interesting.

  375. Best movers at the best price: choose Zeromax

    Heya this is somewhat of off topic but I was wanting to know if blogs use
    WYSIWYG editors or if you have to manually code with HTML.
    I’m starting a blog soon but have no coding knowledge so I wanted to get advice from someone with
    experience. Any help would be greatly appreciated!

  379. پوشش ضد حریق

    I like the helpful information you provide in your articles.
    I will bookmark your blog and check again here frequently.
    I’m quite certain I will learn plenty of new stuff right here!
    Best of luck for the next!

  382. پوشش ضد حریق

    Very nice post. I simply stumbled upon your weblog and wished to mention that I’ve truly enjoyed browsing
    your blog posts. After all I will be subscribing in your
    rss feed and I hope you write once more very soon!

  387. پوشش ضد حریق

    Howdy just wanted to give you a quick heads up. The text in your post seem to be running off
    the screen in Chrome. I’m not sure if this is a format issue or something to do with web browser compatibility but I figured
    I’d post to let you know. The design and
    style look great though! Hope you get the problem resolved soon. Thanks

  391. پوشش ضد حریق

    Hello! I could have sworn I’ve been to this website before but after
    checking through some of the post I realized it’s new to me.
    Nonetheless, I’m definitely delighted I found it and I’ll be book-marking and checking back frequently!

  393. امداد خودرو مدیران خودرو

    Simply want to say your article is as amazing. The clearness in your put up is simply excellent
    and that i could suppose you are a professional on this subject.
    Well along with your permission allow me to grab your RSS feed to keep updated with forthcoming post.

    Thank you a million and please keep up the enjoyable work.

  401. پوشش ضد حریق

    Greetings from Ohio! I’m bored to tears at work so I decided to check out your blog on my iphone during lunch break.
    I really like the info you provide here and can’t wait
    to take a look when I get home. I’m amazed at
    how fast your blog loaded on my phone .. I’m not even using WIFI, just 3G ..

    Anyhow, fantastic site!

  402. پوشش ضد حریق

    Hey just wanted to give you a quick heads up and let you know a few of the images aren’t
    loading correctly. I’m not sure why but I think its a linking issue.
    I’ve tried it in two different internet browsers and both show the same
    outcome.

  403. پوشش ضد حریق

    Thank you, I’ve just been searching for info about this subject for a long time and yours
    is the best I’ve came upon so far. But, what about the bottom
    line? Are you sure about the source?

  406. پوشش ضد حریق

    you are really a excellent webmaster. The site loading pace is amazing.

    It sort of feels that you’re doing any distinctive trick.
    Furthermore, The contents are masterwork. you have performed a excellent process on this subject!

  407. پوشش ضد حریق

    Write more, thats all I have to say. Literally, it seems as though you relied on the
    video to make your point. You clearly know what
    youre talking about, why waste your intelligence
    on just posting videos to your weblog when you could be
    giving us something enlightening to read?

  410. پوشش ضد حریق

    I’m impressed, I have to admit. Rarely do I come across a blog that’s equally
    educative and interesting, and without a doubt, you have hit the nail
    on the head. The issue is something that too few folks
    are speaking intelligently about. I’m very happy I found this in my search for something concerning this.

  411. پوشش ضد حریق

    I’m not sure where you’re getting your info, but great topic.
    I needs to spend some time learning more or understanding
    more. Thanks for great info I was looking for this information for my mission.

  416. پوشش ضد حریق

    Aw, this was an extremely good post. Taking the time and actual effort
    to generate a superb article… but what can I say… I procrastinate a
    lot and don’t manage to get anything done.

  423. https://Alethiaproject.org:443/index.php/Ciruga_Dental_En_El_Salvador:_Mejorando_Sonrisas_Y_Salud_Bucal

    Its such as you learn my thoughts! You appear to know a lot approximately
    this, such as you wrote the e book in it or something.

    I feel that you just can do with a few % to drive the message
    home a bit, however instead of that, this is fantastic blog.
    A fantastic read. I will definitely be back. https://Alethiaproject.org:443/index.php/Cirug%C3%ADa_Dental_En_El_Salvador:_Mejorando_Sonrisas_Y_Salud_Bucal

  425. پوشش ضد حریق

    Hi there! I could have sworn I’ve been to this site before but after looking at a few of the articles I realized
    it’s new to me. Nonetheless, I’m certainly pleased I stumbled upon it and I’ll be book-marking it and checking back regularly!

  427. ŞIşMe bebek Sipariş

    Good day I am so grateful I found your web site, I really found you by mistake, wyile I was researching
    on Askjeeve forr something else, Anyhow I am here now
    and would just like to say kudos for a remaarkable post
    and a all round interesting blog (I also love the theme/design), I don’t have timee
    to browse it all at thhe miment but I have book-marked it and
    akso added your RSS feeds, so when I have tijme I will be back to read much more, Please
    do keep up the fantastic work.

    Alsso vist my web site – ŞIşMe bebek Sipariş

  429. نحوه انتخاب رشته دانشگاه آزاد

    I am really loving the theme/design of your website. Do you
    ever run into any web browser compatibility issues? A number of
    my blog audience have complained about my website not operating correctly
    in Explorer but looks great in Safari. Do you have any
    suggestions to help fix this problem?

  430. Ремонт смартфонов

    Профессиональный сервисный центр по ремонту сотовых телефонов, смартфонов и мобильных устройств.
    Мы предлагаем: ремонт телефонов
    Наши мастера оперативно устранят неисправности вашего устройства в сервисе или с выездом на дом!

  431. پوشش ضد حریق

    Hi, i think that i saw you visited my weblog thus i
    came to “return the favor”.I am trying to find things to improve my web
    site!I suppose its ok to use some of your ideas!!

  432. پوشش ضد حریق

    Unquestionably imagine that which you said.

    Your favorite reason appeared to be on the web the simplest factor to have
    in mind of. I say to you, I definitely get irked even as folks
    consider worries that they just don’t know about. You managed to hit the nail upon the highest and outlined out the whole thing
    with no need side-effects , people could take a signal. Will likely be back to
    get more. Thank you

  434. پوشش ضد حریق

    Simply want to say your article is as astonishing. The clarity
    in your post is simply great and i can assume you are an expert on this subject.
    Well with your permission let me to grab your feed to keep up to date with
    forthcoming post. Thanks a million and please carry on the rewarding work.

  436. پوشش ضد حریق

    I am not positive where you’re getting your info, but good topic.
    I needs to spend some time learning more or figuring out more.
    Thanks for magnificent information I used to
    be looking for this information for my mission.

  437. Ремонт смартфонов

    Профессиональный сервисный центр по ремонту сотовых телефонов, смартфонов и мобильных устройств.
    Мы предлагаем: ремонт смартфонов
    Наши мастера оперативно устранят неисправности вашего устройства в сервисе или с выездом на дом!

  440. places

    What’s uup friends, iits great paragraph regarding educationand fully defined,
    keep it up all the time.

    Feel free to visxit my page … places

  442. TOP-10 mistakes of movers

    Do you mind if I quote a few of your posts as long
    as I provide credit and sources back to your weblog?

    My blog is in the exact same area of interest as yours and my visitors
    would certainly benefit from a lot of the information you
    present here. Please let me know if this alright with you.
    Appreciate it!

  446. پوشش ضد حریق

    Greetings from Los angeles! I’m bored to death at work so I decided to browse your blog on my iphone
    during lunch break. I love the knowledge you provide here
    and can’t wait to take a look when I get home. I’m surprised at how quick your blog loaded on my
    cell phone .. I’m not even using WIFI, just 3G .. Anyhow, fantastic blog!

  447. ремонт macbook

    Профессиональный сервисный центр по ремонту ноутбуков, макбуков и другой компьютерной техники.
    Мы предлагаем:ремонт макбук центр
    Наши мастера оперативно устранят неисправности вашего устройства в сервисе или с выездом на дом!

  450. rüyada burun ameliyatı Olmak

    Have you ever thought aboit creating an e-book or guest
    authoringg on other sites? I havee a blog based on the
    same ideas you discuss and would really like too have you share some stories/information. I know my readers would value your work.
    If you’reeven remotely interested, feel free to send me an e mail.

    Also visit my website rüyada burun ameliyatı Olmak

  451. پوشش ضد حریق

    Thank you for any other informative web site. The place
    else may I get that type of info written in such a perfect method?
    I’ve a project that I’m simply now working on, and I have been at the
    glance out for such information.

  452. Hasır şEmsi̇ye

    Thank you for some other informative web site. Where else
    may just I get that kind of info written iin such a perfect means?

    I’ve a project that I’m simply now working on, and
    I have been on thee glwnce out for such information.

    Feel free to visit mmy bog post – Hasır şEmsi̇ye

  453. پوشش ضد حریق

    Simply wish to say your article is as surprising. The clarity in your submit is just excellent and that i could
    assume you’re knowledgeable on this subject. Well along with your permission allow me to grasp your RSS feed to keep up to date with drawing close post.
    Thank you one million and please carry on the rewarding work.

  455. HRA: Don't think about the price

    I truly love your website.. Excellent colors & theme.
    Did you make this website yourself? Please reply
    back as I’m hoping to create my own personal website and would
    love to find out where you got this from or just what the theme is named.
    Thanks!

  456. sex indo viral

    Wow, fantastic blog layout! How long have you been blogging for?

    you made blogging look easy. The overall look of your web site is great, as well as the content!

  457. peretyazhka-mebeli-minsk vuOi

    5 важных преимуществ перетяжки мягкой мебели, которые вы должны знать, чтобы избежать ошибок, для создания уютного интерьера, Профессиональная перетяжка мягкой мебели: за и против, Как сделать мебель более уютной и комфортной, с помощью правильного выбора материалов
    перетяжка мебели https://obivka-divana.ru/ .

  458. Plastik Kırma Makinesi

    certainly like your website however you neeed to take a look at the spelling on several of your posts.
    Many of them aree rife with spelling issues and I find it very troublesome too tell the truth on the other hand I will definitely
    come back again.

    Also visit my website Plastik Kırma Makinesi

  462. peretyazhka-mebeli-minsk wjOi

    Какие выгоды дает перетяжка мягкой мебели, которые важно учитывать, для успешного обновления мебели, Как экономно обновить мягкую мебель без перетяжки, Почему стоит обратиться к профессионалам для перетяжки дивана, что учитывать при выборе техника для работы, для создания уютного уголка в доме
    перетяжка мебели https://obivka-divana.ru/ .

  463. پوشش ضد حریق

    Whoa! This blog looks exactly like my old one! It’s on a completely different
    subject but it has pretty much the same layout and design. Wonderful choice of
    colors!

  466. izmir tesisat

    hello!,I really like your writing very much!
    percentage we keep in touch more approximately yyour post
    onn AOL? I need an expert iin this splace to solve mmy problem.

    May be that is you! Taking a look ahead to pewr you.

    Here is my blog post :: izmir tesisat

  467. peretyazhka-mebeli-minsk bzOi

    Какие выгоды дает перетяжка мягкой мебели, Советы по выбору ткани для перетяжки мебели, чтобы избежать ошибок, которые помогут вам сделать стильный выбор, Почему стоит обратиться к профессионалам для перетяжки дивана, Как сделать мебель более уютной и комфортной, и улучшить характеристики дивана
    перетяжка мебели перетяжка мебели .

  468. How to choose the right moving company: 5 steps

    I loved as much as you will receive carried out right here.
    The sketch is tasteful, your authored subject matter
    stylish. nonetheless, you command get bought an nervousness over that you wish be delivering
    the following. unwell unquestionably come
    further formerly again as exactly the same nearly very often inside case you shield this hike.

  473. پوشش ضد حریق

    I think this is one of the most important info for me.
    And i’m glad reading your article. But should
    remark on few general things, The site style is wonderful, the articles is
    really nice : D. Good job, cheers

  475. پوشش ضد حریق

    Hi there! Quick question that’s entirely off topic.

    Do you know how to make your site mobile friendly?

    My web site looks weird when browsing from my apple iphone.
    I’m trying to find a template or plugin that might be able to resolve this issue.
    If you have any suggestions, please share. With thanks!

  482. تعمیر کرکره های شبکه ای ورقی

    I am really loving the theme/design of your site.

    Do you ever run into any internet browser compatibility problems?
    A few of my blog readers have complained about my blog not working correctly in Explorer but looks great in Chrome.
    Do you have any ideas to help fix this problem?

  485. Puff Wow

    Write more, thats all I have to say. Literally, it seems
    as though you relied on the video to make your point. You definitely know what youre talking about, why
    waste your intelligence on just posting videos to your site when you could be
    giving us something enlightening to read?

    Also visit my blog post; Puff Wow

  489. قیمت تعمیر پمپ آب تهران

    An impressive share! I’ve just forwarded this onto a co-worker who was conducting a little research on this.
    And he actually ordered me breakfast simply because I found it for him…

    lol. So allow me to reword this…. Thank YOU for the meal!!
    But yeah, thanks for spending some time to discuss this issue here on your
    blog.

  490. تعمیر پمپ آب در محل

    Hello! Someone in my Facebook group shared this
    site with us so I came to look it over. I’m definitely enjoying
    the information. I’m bookmarking and will be
    tweeting this to my followers! Superb blog and fantastic style and design.

  491. Link Jav Sub Indo

    Hello There. I discovered your blog using msn. This is a very neatly written article.
    I’ll be sure to bookmark it and come back to learn more of your useful information. Thanks for the post.

    I’ll definitely comeback.

  492. Link Jav Guru

    I would like to thank you for the efforts you have put in penning this site.
    I’m hoping to see the same high-grade content
    from you later on as well. In fact, your creative writing
    abilities has inspired me to get my own site now 😉

  495. uc satın al

    Today, while I was at work, mmy sister stole my
    apple ipad and tested tto ssee if it can survive a forty foot drop,
    just so she can bee a youtube sensation. My apple ipad is now brkken and she has 83 views.
    I know this is entirely off topoic but I had to share it with
    someone!

    Here is my blog – uc satın al

  496. comment-864259

    I must thank you for the efforts you’ve put in writing this website.
    I really hope to see the same high-grade blog posts from you in the
    future as well. In fact, your creative writing abilities has inspired
    me to get my own, personal site now 😉